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docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md

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 </div>
 
-## 无重复的情况
+## 无相等元素的情况
 
 !!! question
 
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 ![全排列的递归树](permutations_problem.assets/permutations_i.png)
 
+### 代码实现
+
 想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 `backtrack()` 函数中。
 
 === "Java"
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     [class]{}-[func]{permutationsI}
     ```
 
+### 重复选择剪枝
+
 需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 `selected` ，它的长度与输入数组长度相等，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
 
 如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
 
 ![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
 
-## 考虑重复的情况
+## 考虑相等元素的情况
 
 !!! question
 
@@ -138,9 +142,13 @@
 
 观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
 
+本质上看，**我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次**。
+
 ![重复排列剪枝](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png)
 
-本质上看，**我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次**。因此，在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 `duplicated` ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。
+### 代码实现
+
+在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 `duplicated` ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。
 
 === "Java"
 
@@ -230,6 +238,8 @@
     [class]{}-[func]{permutationsII}
     ```
 
+### 两种剪枝对比
+
 注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：
 
 - **剪枝条件一**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
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 ![两种剪枝条件的作用范围](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png)
 
-## 复杂度分析
+### 复杂度分析
 
 假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。