algorithm/hello-algo
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krahets
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docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md
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@@ -12,12 +12,16 @@
![n 皇后问题的约束条件](n_queens_problem.assets/n_queens_constraints.png)
### 皇后放置策略
皇后的数量和棋盘的行数都为 $n$ ，因此我们容易得到第一个推论：**棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后**。这意味着，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。**此策略起到了剪枝的作用**，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
下图展示了 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受篇幅限制，下图仅展开了第一行的一个搜索分支。在搜索过程中，我们将不满足列约束和对角线约束的方案都剪枝了。
![逐行放置策略](n_queens_problem.assets/n_queens_placing.png)
### 列与对角线剪枝
为了实现根据列约束剪枝，我们可以利用一个长度为 $n$ 的布尔型数组 `cols` 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 `cols` 将已有皇后的列剪枝，并在回溯中动态更新 `cols` 的状态。
那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 `(row, col)` ，观察矩阵的某条主对角线，**我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引相等**，即 `row - col` 为恒定值。换句话说，若两个格子满足 `row1 - col1 == row2 - col2` ，则这两个格子一定处在一条主对角线上。
@@ -28,6 +32,8 @@
同理，**次对角线上的所有格子的 `row + col` 是恒定值**。我们可以使用同样的方法，借助数组 `diag2` 来处理次对角线约束。
### 代码实现
根据以上分析，我们便可以写出 $n$ 皇后的解题代码。
=== "Java"
@@ -118,7 +124,7 @@
[class]{}-[func]{nQueens}
```
## 复杂度分析
### 复杂度分析
逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \cdots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。

18
docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md
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@@ -14,7 +14,7 @@
</div>
## 无重复的情况
## 无相等元素的情况
!!! question
@@ -28,6 +28,8 @@
![全排列的递归树](permutations_problem.assets/permutations_i.png)
### 代码实现
想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 `backtrack()` 函数中。
=== "Java"
@@ -118,13 +120,15 @@
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
### 重复选择剪枝
需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 `selected` ，它的长度与输入数组长度相等，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
## 考虑重复的情况
## 考虑相等元素的情况
!!! question
@@ -138,9 +142,13 @@
观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
本质上看，**我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次**。
![重复排列剪枝](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png)
本质上看，**我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次**。因此，在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 `duplicated` ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。
### 代码实现
在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 `duplicated` ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。
=== "Java"
@@ -230,6 +238,8 @@
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
### 两种剪枝对比
注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：
- **剪枝条件一**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
@@ -239,7 +249,7 @@
![两种剪枝条件的作用范围](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png)
## 复杂度分析
### 复杂度分析
假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$ 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。

14
docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md
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@@ -1,12 +1,14 @@
# 子集和问题
## 无重复元素的情况
!!! question
给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，由于集合中的数字可以被重复选取，因此解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。请注意，子集是不区分元素顺序的，例如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
## 从全排列引出解法
### 从全排列引出解法
类似于上节全排列问题的解法，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 `target` 时，就将子集记录至结果列表。
@@ -104,7 +106,7 @@
![子集搜索与越界剪枝](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png)
## 重复子集剪枝
### 重复子集剪枝
为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，因为：
@@ -121,6 +123,8 @@
总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ 。**不满足该条件的选择序列都是重复子集**。
### 代码实现
为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**，从而完成子集去重。
除此之外，我们还对代码进行了两项优化。首先，我们在开启搜索前将数组 `nums` 排序，在搜索过程中，**当子集和超过 `target` 时直接结束循环**，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 `target` 。其次，**我们通过在 `target` 上执行减法来统计元素和**，当 `target` 等于 $0$ 时记录解，省去了元素和变量 `total` 。
@@ -217,7 +221,7 @@
![子集和 I 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png)
## 相等元素剪枝
## 考虑重复元素的情况
!!! question
@@ -227,10 +231,14 @@
![相等元素导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png)
### 相等元素剪枝
为解决此问题，**我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次**。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。利用该特性，在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。
与此同时，**本题规定数组元素只能被选择一次**。幸运的是，我们也可以利用变量 `start` 来满足该约束：当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i + 1$ 开始向后遍历。这样即能去除重复子集，也能避免重复选择相等元素。
### 代码实现
=== "Java"
```java title="subset_sum_ii.java"