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chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html

@@ -3469,7 +3469,7 @@
 <li>前序遍历：<code>[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
 <li>中序遍历：<code>[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 9 | 3 | 1 2 7 ]</code> 。</li>
 </ul>
-<p>以上图数据为例，我们可以通过以下步骤得到上述的划分结果：</p>
+<p>以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果：</p>
 <ol>
 <li>前序遍历的首元素 3 是根节点的值。</li>
 <li>查找根节点 3 在 <code>inorder</code> 中的索引，利用该索引可将 <code>inorder</code> 划分为 <code>[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]</code> 。</li>

chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html

@@ -3479,7 +3479,7 @@
 <li><strong>分（划分阶段）</strong>：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。</li>
 <li><strong>治（合并阶段）</strong>：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。</li>
 </ol>
-<p>我们已学过的“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：</p>
+<p>如下图所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：</p>
 <ol>
 <li><strong>分</strong>：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。</li>
 <li><strong>治</strong>：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。</li>
@@ -3504,7 +3504,7 @@
 <p>分治不仅可以有效地解决算法问题，<strong>往往还可以带来算法效率的提升</strong>。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。</p>
 <p>那么，我们不禁发问：<strong>为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么</strong>？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。</p>
 <h3 id="1">1. &nbsp; 操作数量优化<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，排序每个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O((n / 2)^2)\)</span> 时间，合并两个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，总体时间复杂度为：</p>
+<p>以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 时间。假设我们按照下图所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，排序每个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O((n / 2)^2)\)</span> 时间，合并两个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，总体时间复杂度为：</p>
 <div class="arithmatex">\[
 O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
 \]</div>
@@ -3525,7 +3525,7 @@ n(n - 4) &amp; &gt; 0
 <h3 id="2">2. &nbsp; 并行计算优化<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，<strong>因此通常可以并行解决</strong>。也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，<strong>还有利于操作系统的并行优化</strong>。</p>
 <p>并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。</p>
-<p>比如在桶排序中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。</p>
+<p>比如在下图所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。</p>
 <p><img alt="桶排序的并行计算" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png" /></p>
 <p align="center"> 图：桶排序的并行计算 </p>
 

chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html

@@ -3449,7 +3449,7 @@
 
 <p><strong>我们将规模为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的汉诺塔问题记做 <span class="arithmatex">\(f(i)\)</span></strong> 。例如 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 代表将 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 的汉诺塔问题。</p>
 <h3 id="1">1. &nbsp; 考虑基本情况<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 即可。</p>
+<p>如下图所示，对于问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 即可。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:2"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;2&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3462,13 +3462,12 @@
 </div>
 <p align="center"> 图：规模为 1 问题的解 </p>
 
-<p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> ，即当有两个圆盘时，<strong>由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 <code>B</code> 来完成移动</strong>，包括三步：</p>
+<p>如下图所示，对于问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> ，即当有两个圆盘时，<strong>由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 <code>B</code> 来完成移动</strong>。</p>
 <ol>
 <li>先将上面的小圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> 。</li>
 <li>再将大圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>C</code> 。</li>
 <li>最后将小圆盘从 <code>B</code> 移至 <code>C</code> 。</li>
 </ol>
-<p>解决问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的过程可总结为：<strong>将两个圆盘借助 <code>B</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>C</code></strong> 。其中，<code>C</code> 称为目标柱、<code>B</code> 称为缓冲柱。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:4"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_2_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_2_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_2_4">&lt;4&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3487,14 +3486,15 @@
 </div>
 <p align="center"> 图：规模为 2 问题的解 </p>
 
+<p>解决问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的过程可总结为：<strong>将两个圆盘借助 <code>B</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>C</code></strong> 。其中，<code>C</code> 称为目标柱、<code>B</code> 称为缓冲柱。</p>
 <h3 id="2">2. &nbsp; 子问题分解<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的解，因此可从分治角度思考，<strong>将 <code>A</code> 顶部的两个圆盘看做一个整体</strong>，执行以下步骤：</p>
+<p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。</p>
+<p>因为已知 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的解，所以我们可从分治角度思考，<strong>将 <code>A</code> 顶部的两个圆盘看做一个整体</strong>，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 了。</p>
 <ol>
 <li>令 <code>B</code> 为目标柱、<code>C</code> 为缓冲柱，将两个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>B</code> 。</li>
 <li>将 <code>A</code> 中剩余的一个圆盘从 <code>A</code> 直接移动至 <code>C</code> 。</li>
 <li>令 <code>C</code> 为目标柱、<code>A</code> 为缓冲柱，将两个圆盘从 <code>B</code> 移动至 <code>C</code> 。</li>
 </ol>
-<p>这样三个圆盘就被顺利地从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 了。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:4"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_3_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_3_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_3_4">&lt;4&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3514,7 +3514,7 @@
 <p align="center"> 图：规模为 3 问题的解 </p>
 
 <p>本质上看，<strong>我们将问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 和子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span></strong> 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。</p>
-<p>至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：将原问题 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> 和一个子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。子问题的解决顺序为：</p>
+<p>至此，我们可总结出下图所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> 和一个子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。子问题的解决顺序为：</p>
 <ol>
 <li>将 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> 个圆盘借助 <code>C</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> 。</li>
 <li>将剩余 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 直接移至 <code>C</code> 。</li>

chapter_divide_and_conquer/summary/index.html

@@ -3353,7 +3353,7 @@
 <li>引入分治策略往往可以带来算法效率的提升。一方面，分治策略减少了操作数量；另一方面，分治后有利于系统的并行优化。</li>
 <li>分治既可以解决许多算法问题，也广泛应用于数据结构与算法设计中，处处可见其身影。</li>
 <li>相较于暴力搜索，自适应搜索效率更高。时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的。</li>
-<li>二分查找是分治思想的另一个典型应用，它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。</li>
+<li>二分查找是分治策略的另一个典型应用，它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。</li>
 <li>在构建二叉树问题中，构建树（原问题）可以被划分为构建左子树和右子树（子问题），其可以通过划分前序遍历和中序遍历的索引区间来实现。</li>
 <li>在汉诺塔问题中，一个规模为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的问题可以被划分为两个规模为 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> 的子问题和一个规模为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 的子问题。按顺序解决这三个子问题后，原问题随之得到解决。</li>
 </ul>