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chapter_greedy/max_capacity_problem/index.html

@@ -3441,7 +3441,7 @@
 <p>请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。</p>
 </div>
 <p><img alt="最大容量问题的示例数据" src="../max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png" /></p>
-<p align="center"> 图：最大容量问题的示例数据 </p>
+<p align="center"> 图 15-7 &nbsp; 最大容量问题的示例数据 </p>
 
 <p>容器由任意两个隔板围成，<strong>因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span></strong> 。</p>
 <p>根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 <span class="arithmatex">\(cap[i, j]\)</span> ，则可得计算公式：</p>
@@ -3450,24 +3450,24 @@ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
 \]</div>
 <p>设数组长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 <span class="arithmatex">\(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\)</span> 个。最直接地，<strong>我们可以穷举所有状态</strong>，从而求得最大容量，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 。</p>
 <h3 id="1">1. &nbsp; 贪心策略确定<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> ，其满足索引 <span class="arithmatex">\(i &lt; j\)</span> 且高度 <span class="arithmatex">\(ht[i] &lt; ht[j]\)</span> ，即 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 为短板、 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 为长板。</p>
+<p>这道题还有更高效率的解法。如图 15-8 所示，现选取一个状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> ，其满足索引 <span class="arithmatex">\(i &lt; j\)</span> 且高度 <span class="arithmatex">\(ht[i] &lt; ht[j]\)</span> ，即 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 为短板、 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 为长板。</p>
 <p><img alt="初始状态" src="../max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png" /></p>
-<p align="center"> 图：初始状态 </p>
+<p align="center"> 图 15-8 &nbsp; 初始状态 </p>
 
-<p>如下图所示，<strong>若此时将长板 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 靠近，则容量一定变小</strong>。这是因为在移动长板 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 后：</p>
+<p>如图 15-9 所示，<strong>若此时将长板 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 靠近，则容量一定变小</strong>。这是因为在移动长板 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 后：</p>
 <ul>
 <li>宽度 <span class="arithmatex">\(j-i\)</span> 肯定变小。</li>
 <li>高度由短板决定，因此高度只可能不变（ <span class="arithmatex">\(i\)</span> 仍为短板）或变小（移动后的 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 成为短板）。</li>
 </ul>
 <p><img alt="向内移动长板后的状态" src="../max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_long_board.png" /></p>
-<p align="center"> 图：向内移动长板后的状态 </p>
+<p align="center"> 图 15-9 &nbsp; 向内移动长板后的状态 </p>
 
-<p>反向思考，<strong>我们只有向内收缩短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，才有可能使容量变大</strong>。因为虽然宽度一定变小，<strong>但高度可能会变大</strong>（移动后的短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 可能会变长）。例如在下图中，移动短板后面积变大。</p>
+<p>反向思考，<strong>我们只有向内收缩短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，才有可能使容量变大</strong>。因为虽然宽度一定变小，<strong>但高度可能会变大</strong>（移动后的短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 可能会变长）。例如在图 15-10 中，移动短板后面积变大。</p>
 <p><img alt="向内移动短板后的状态" src="../max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_short_board.png" /></p>
-<p align="center"> 图：向内移动短板后的状态 </p>
+<p align="center"> 图 15-10 &nbsp; 向内移动短板后的状态 </p>
 
 <p>由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针分裂容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。</p>
-<p>下图展示了贪心策略的执行过程。</p>
+<p>图 15-11 展示了贪心策略的执行过程。</p>
 <ol>
 <li>初始状态下，指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> , <span class="arithmatex">\(j\)</span> 分列与数组两端。</li>
 <li>计算当前状态的容量 <span class="arithmatex">\(cap[i, j]\)</span> ，并更新最大容量。</li>
@@ -3505,7 +3505,7 @@ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
 </div>
 </div>
 </div>
-<p align="center"> 图：最大容量问题的贪心过程 </p>
+<p align="center"> 图 15-11 &nbsp; 最大容量问题的贪心过程 </p>
 
 <h3 id="2">2. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>代码循环最多 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 轮，<strong>因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
@@ -3695,12 +3695,12 @@ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
 </div>
 <h3 id="3">3. &nbsp; 正确性证明<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。</p>
-<p>比如在状态 <span class="arithmatex">\(cap[i, j]\)</span> 下，<span class="arithmatex">\(i\)</span> 为短板、<span class="arithmatex">\(j\)</span> 为长板。若贪心地将短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 向内移动一格，会导致下图所示的状态被“跳过”。<strong>这意味着之后无法验证这些状态的容量大小</strong>。</p>
+<p>比如在状态 <span class="arithmatex">\(cap[i, j]\)</span> 下，<span class="arithmatex">\(i\)</span> 为短板、<span class="arithmatex">\(j\)</span> 为长板。若贪心地将短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 向内移动一格，会导致图 15-12 所示的状态被“跳过”。<strong>这意味着之后无法验证这些状态的容量大小</strong>。</p>
 <div class="arithmatex">\[
 cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
 \]</div>
 <p><img alt="移动短板导致被跳过的状态" src="../max_capacity_problem.assets/max_capacity_skipped_states.png" /></p>
-<p align="center"> 图：移动短板导致被跳过的状态 </p>
+<p align="center"> 图 15-12 &nbsp; 移动短板导致被跳过的状态 </p>
 
 <p>观察发现，<strong>这些被跳过的状态实际上就是将长板 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向内移动的所有状态</strong>。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，<strong>跳过它们不会导致错过最优解</strong>。</p>
 <p>以上的分析说明，<strong>移动短板的操作是“安全”的</strong>，贪心策略是有效的。</p>