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chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html

@@ -3436,9 +3436,9 @@
 <li>递归求解规模减小一半的子问题，可能为 <span class="arithmatex">\(f(i, m-1)\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(f(m+1, j)\)</span> 。</li>
 <li>循环第 <code>1.</code> , <code>2.</code> 步，直至找到 <code>target</code> 或区间为空时返回。</li>
 </ol>
-<p>下图展示了在数组中二分查找元素 <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的分治过程。</p>
+<p>图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的分治过程。</p>
 <p><img alt="二分查找的分治过程" src="../binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png" /></p>
-<p align="center"> 图：二分查找的分治过程 </p>
+<p align="center"> 图 12-4 &nbsp; 二分查找的分治过程 </p>
 
 <p>在实现代码中，我们声明一个递归函数 <code>dfs()</code> 来求解问题 <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> 。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JS</label><label for="__tabbed_1_6">TS</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label><label for="__tabbed_1_12">Rust</label></div>

chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html

@@ -3453,7 +3453,7 @@
 <p>给定一个二叉树的前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。</p>
 </div>
 <p><img alt="构建二叉树的示例数据" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png" /></p>
-<p align="center"> 图：构建二叉树的示例数据 </p>
+<p align="center"> 图 12-5 &nbsp; 构建二叉树的示例数据 </p>
 
 <h3 id="1">1. &nbsp; 判断是否为分治问题<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>原问题定义为从 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题：</p>
@@ -3466,17 +3466,17 @@
 <p>根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但问题是：<strong>如何通过前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> 来划分左子树和右子树呢</strong>？</p>
 <p>根据定义，<code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 都可以被划分为三个部分：</p>
 <ul>
-<li>前序遍历：<code>[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
-<li>中序遍历：<code>[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 9 | 3 | 1 2 7 ]</code> 。</li>
+<li>前序遍历：<code>[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]</code> ，例如图 12-5 的树对应 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
+<li>中序遍历：<code>[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]</code> ，例如图 12-5 的树对应 <code>[ 9 | 3 | 1 2 7 ]</code> 。</li>
 </ul>
-<p>以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果：</p>
+<p>以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果：</p>
 <ol>
 <li>前序遍历的首元素 3 是根节点的值。</li>
 <li>查找根节点 3 在 <code>inorder</code> 中的索引，利用该索引可将 <code>inorder</code> 划分为 <code>[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]</code> 。</li>
 <li>根据 <code>inorder</code> 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 <code>preorder</code> 划分为 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
 </ol>
 <p><img alt="在前序和中序遍历中划分子树" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png" /></p>
-<p align="center"> 图：在前序和中序遍历中划分子树 </p>
+<p align="center"> 图 12-6 &nbsp; 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
 
 <h3 id="3">3. &nbsp; 基于变量描述子树区间<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>根据以上划分方法，<strong>我们已经得到根节点、左子树、右子树在 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 中的索引区间</strong>。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：</p>
@@ -3485,8 +3485,8 @@
 <li>将当前树的根节点在 <code>inorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 。</li>
 <li>将当前树在 <code>inorder</code> 中的索引区间记为 <span class="arithmatex">\([l, r]\)</span> 。</li>
 </ul>
-<p>如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 <code>preorder</code> 中的索引，以及子树在 <code>inorder</code> 中的索引区间。</p>
-<p align="center"> 表：根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
+<p>如表 12-1 所示，通过以上变量即可表示根节点在 <code>preorder</code> 中的索引，以及子树在 <code>inorder</code> 中的索引区间。</p>
+<p align="center"> 表 12-1 &nbsp; 根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
 
 <div class="center-table">
 <table>
@@ -3516,9 +3516,9 @@
 </tbody>
 </table>
 </div>
-<p>请注意，右子树根节点索引中的 <span class="arithmatex">\((m-l)\)</span> 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。</p>
+<p>请注意，右子树根节点索引中的 <span class="arithmatex">\((m-l)\)</span> 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合图 12-7 理解。</p>
 <p><img alt="根节点和左右子树的索引区间表示" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png" /></p>
-<p align="center"> 图：根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
+<p align="center"> 图 12-7 &nbsp; 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
 
 <h3 id="4">4. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为了提升查询 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 的效率，我们借助一个哈希表 <code>hmap</code> 来存储数组 <code>inorder</code> 中元素到索引的映射。</p>
@@ -3830,7 +3830,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。</p>
+<p>图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_2_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_2_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_2_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_2_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_2_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_2_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_2_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_2_9">&lt;9&gt;</label><label for="__tabbed_2_10">&lt;10&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3865,7 +3865,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p align="center"> 图：构建二叉树的递归过程 </p>
+<p align="center"> 图 12-8 &nbsp; 构建二叉树的递归过程 </p>
 
 <p>设树的节点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 <code>dfs()</code> ）使用 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 时间。<strong>因此总体时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
 <p>哈希表存储 <code>inorder</code> 元素到索引的映射，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 的栈帧空间。<strong>因此总体空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>

chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html

@@ -3479,13 +3479,13 @@
 <li><strong>分（划分阶段）</strong>：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。</li>
 <li><strong>治（合并阶段）</strong>：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。</li>
 </ol>
-<p>如下图所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：</p>
+<p>如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：</p>
 <ol>
 <li><strong>分</strong>：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。</li>
 <li><strong>治</strong>：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。</li>
 </ol>
 <p><img alt="归并排序的分治策略" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_merge_sort.png" /></p>
-<p align="center"> 图：归并排序的分治策略 </p>
+<p align="center"> 图 12-1 &nbsp; 归并排序的分治策略 </p>
 
 <h2 id="1211">12.1.1 &nbsp; 如何判断分治问题<a class="headerlink" href="#1211" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据：</p>
@@ -3504,12 +3504,12 @@
 <p>分治不仅可以有效地解决算法问题，<strong>往往还可以带来算法效率的提升</strong>。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。</p>
 <p>那么，我们不禁发问：<strong>为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么</strong>？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。</p>
 <h3 id="1">1. &nbsp; 操作数量优化<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 时间。假设我们按照下图所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，排序每个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O((n / 2)^2)\)</span> 时间，合并两个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，总体时间复杂度为：</p>
+<p>以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 时间。假设我们按照图 12-2 所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，排序每个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O((n / 2)^2)\)</span> 时间，合并两个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，总体时间复杂度为：</p>
 <div class="arithmatex">\[
 O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
 \]</div>
 <p><img alt="划分数组前后的冒泡排序" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_bubble_sort.png" /></p>
-<p align="center"> 图：划分数组前后的冒泡排序 </p>
+<p align="center"> 图 12-2 &nbsp; 划分数组前后的冒泡排序 </p>
 
 <p>接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：</p>
 <div class="arithmatex">\[
@@ -3525,9 +3525,9 @@ n(n - 4) &amp; &gt; 0
 <h3 id="2">2. &nbsp; 并行计算优化<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，<strong>因此通常可以并行解决</strong>。也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，<strong>还有利于操作系统的并行优化</strong>。</p>
 <p>并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。</p>
-<p>比如在下图所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。</p>
+<p>比如在图 12-3 所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。</p>
 <p><img alt="桶排序的并行计算" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png" /></p>
-<p align="center"> 图：桶排序的并行计算 </p>
+<p align="center"> 图 12-3 &nbsp; 桶排序的并行计算 </p>
 
 <h2 id="1213">12.1.3 &nbsp; 分治常见应用<a class="headerlink" href="#1213" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题：</p>

chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html

@@ -3445,11 +3445,11 @@
 </ol>
 </div>
 <p><img alt="汉诺塔问题示例" src="../hanota_problem.assets/hanota_example.png" /></p>
-<p align="center"> 图：汉诺塔问题示例 </p>
+<p align="center"> 图 12-9 &nbsp; 汉诺塔问题示例 </p>
 
 <p><strong>我们将规模为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的汉诺塔问题记做 <span class="arithmatex">\(f(i)\)</span></strong> 。例如 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 代表将 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 的汉诺塔问题。</p>
 <h3 id="1">1. &nbsp; 考虑基本情况<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>如下图所示，对于问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 即可。</p>
+<p>如图 12-10 所示，对于问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 即可。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:2"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;2&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3460,9 +3460,9 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p align="center"> 图：规模为 1 问题的解 </p>
+<p align="center"> 图 12-10 &nbsp; 规模为 1 问题的解 </p>
 
-<p>如下图所示，对于问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> ，即当有两个圆盘时，<strong>由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 <code>B</code> 来完成移动</strong>。</p>
+<p>如图 12-11 所示，对于问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> ，即当有两个圆盘时，<strong>由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 <code>B</code> 来完成移动</strong>。</p>
 <ol>
 <li>先将上面的小圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> 。</li>
 <li>再将大圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>C</code> 。</li>
@@ -3484,12 +3484,12 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p align="center"> 图：规模为 2 问题的解 </p>
+<p align="center"> 图 12-11 &nbsp; 规模为 2 问题的解 </p>
 
 <p>解决问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的过程可总结为：<strong>将两个圆盘借助 <code>B</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>C</code></strong> 。其中，<code>C</code> 称为目标柱、<code>B</code> 称为缓冲柱。</p>
 <h3 id="2">2. &nbsp; 子问题分解<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。</p>
-<p>因为已知 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的解，所以我们可从分治角度思考，<strong>将 <code>A</code> 顶部的两个圆盘看做一个整体</strong>，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 了。</p>
+<p>因为已知 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的解，所以我们可从分治角度思考，<strong>将 <code>A</code> 顶部的两个圆盘看做一个整体</strong>，执行图 12-12 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 了。</p>
 <ol>
 <li>令 <code>B</code> 为目标柱、<code>C</code> 为缓冲柱，将两个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>B</code> 。</li>
 <li>将 <code>A</code> 中剩余的一个圆盘从 <code>A</code> 直接移动至 <code>C</code> 。</li>
@@ -3511,10 +3511,10 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p align="center"> 图：规模为 3 问题的解 </p>
+<p align="center"> 图 12-12 &nbsp; 规模为 3 问题的解 </p>
 
 <p>本质上看，<strong>我们将问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 和子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span></strong> 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。</p>
-<p>至此，我们可总结出下图所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> 和一个子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。子问题的解决顺序为：</p>
+<p>至此，我们可总结出图 12-13 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> 和一个子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。子问题的解决顺序为：</p>
 <ol>
 <li>将 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> 个圆盘借助 <code>C</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> 。</li>
 <li>将剩余 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 直接移至 <code>C</code> 。</li>
@@ -3522,7 +3522,7 @@
 </ol>
 <p>对于这两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> ，<strong>可以通过相同的方式进行递归划分</strong>，直至达到最小子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。而 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 的解是已知的，只需一次移动操作即可。</p>
 <p><img alt="汉诺塔问题的分治策略" src="../hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png" /></p>
-<p align="center"> 图：汉诺塔问题的分治策略 </p>
+<p align="center"> 图 12-13 &nbsp; 汉诺塔问题的分治策略 </p>
 
 <h3 id="3">3. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>在代码中，我们声明一个递归函数 <code>dfs(i, src, buf, tar)</code> ，它的作用是将柱 <code>src</code> 顶部的 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个圆盘借助缓冲柱 <code>buf</code> 移动至目标柱 <code>tar</code> 。</p>
@@ -3842,9 +3842,9 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 <code>dfs()</code> 函数，<strong>因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> ，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
+<p>如图 12-14 所示，汉诺塔问题形成一个高度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 <code>dfs()</code> 函数，<strong>因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> ，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
 <p><img alt="汉诺塔问题的递归树" src="../hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png" /></p>
-<p align="center"> 图：汉诺塔问题的递归树 </p>
+<p align="center"> 图 12-14 &nbsp; 汉诺塔问题的递归树 </p>
 
 <div class="admonition quote">
 <p class="admonition-title">Quote</p>