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docs/chapter_heap/build_heap.md

@@ -0,0 +1,142 @@
+# 建堆操作
+
+在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。
+
+## 借助入堆操作实现
+
+我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。
+
+每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”地构建的。
+
+设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+
+## 通过遍历堆化实现
+
+实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。
+
+1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
+2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
+
+**每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆**。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”地被构建的。
+
+之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。
+
+值得说明的是，**叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无需堆化**。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="my_heap.py"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{__init__}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="my_heap.cpp"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="my_heap.cs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="my_heap.go"
+    [class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="my_heap.swift"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{init}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="my_heap.js"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{constructor}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="my_heap.ts"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{constructor}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="my_heap.dart"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="my_heap.rs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{new}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="my_heap.c"
+    [class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="my_heap.zig"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{init}
+    ```
+
+## 复杂度分析
+
+下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。
+
+- 假设完全二叉树的节点数量为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 $(n - 1) / 2$ 。
+- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $\log n$ 。
+
+将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质**。
+
+接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ ，高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
+
+![完美二叉树的各层节点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
+
+如上图所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
+
+$$
+T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
+$$
+
+化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到：
+
+$$
+\begin{aligned}
+T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
+2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
+\end{aligned}
+$$
+
+使用错位相减法，用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得：
+
+$$
+2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
+$$
+
+观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：
+
+$$
+\begin{aligned}
+T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
+& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
+& = O(2^h)
+\end{aligned}
+$$
+
+进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。

docs/chapter_heap/heap.md

@@ -0,0 +1,833 @@
+# 堆
+
+「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为下图所示的两种类型。
+
+- 「大顶堆 max heap」：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。
+- 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
+
+![小顶堆与大顶堆](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png)
+
+堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。
+
+- 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
+- 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
+- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
+
+## 堆常用操作
+
+需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
+
+实际上，**堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一使用“堆“来命名。
+
+堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。
+
+<p align="center"> 表 <id> &nbsp; 堆的操作效率 </p>
+
+| 方法名     | 描述                                         | 时间复杂度  |
+| --------- | ------------------------------------------ | ----------- |
+| push()    | 元素入堆                                    | $O(\log n)$ |
+| pop()     | 堆顶元素出堆                                   | $O(\log n)$ |
+| peek()    | 访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值）       | $O(1)$      |
+| size()    | 获取堆的元素数量                               | $O(1)$      |
+| isEmpty() | 判断堆是否为空                                 | $O(1)$      |
+
+在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
+
+!!! tip
+
+    类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="heap.py"
+    # 初始化小顶堆
+    min_heap, flag = [], 1
+    # 初始化大顶堆
+    max_heap, flag = [], -1
+
+    # Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆
+    # 考虑将“元素取负”后再入堆，这样就可以将大小关系颠倒，从而实现大顶堆
+    # 在本示例中，flag = 1 时对应小顶堆，flag = -1 时对应大顶堆
+
+    # 元素入堆
+    heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
+    heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
+    heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
+    heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
+    heapq.heappush(max_heap, flag * 4)
+
+    # 获取堆顶元素
+    peek: int = flag * max_heap[0] # 5
+
+    # 堆顶元素出堆
+    # 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+    val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
+    val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
+    val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
+    val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
+    val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1
+
+    # 获取堆大小
+    size: int = len(max_heap)
+
+    # 判断堆是否为空
+    is_empty: bool = not max_heap
+
+    # 输入列表并建堆
+    min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
+    heapq.heapify(min_heap)
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="heap.cpp"
+    /* 初始化堆 */
+    // 初始化小顶堆
+    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
+    // 初始化大顶堆
+    priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
+
+    /* 元素入堆 */
+    maxHeap.push(1);
+    maxHeap.push(3);
+    maxHeap.push(2);
+    maxHeap.push(5);
+    maxHeap.push(4);
+
+    /* 获取堆顶元素 */
+    int peek = maxHeap.top(); // 5
+
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    // 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+    maxHeap.pop(); // 5
+    maxHeap.pop(); // 4
+    maxHeap.pop(); // 3
+    maxHeap.pop(); // 2
+    maxHeap.pop(); // 1
+
+    /* 获取堆大小 */
+    int size = maxHeap.size();
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    bool isEmpty = maxHeap.empty();
+
+    /* 输入列表并建堆 */
+    vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
+    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="heap.java"
+    /* 初始化堆 */
+    // 初始化小顶堆
+    Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
+    // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
+    Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
+    
+    /* 元素入堆 */
+    maxHeap.offer(1);
+    maxHeap.offer(3);
+    maxHeap.offer(2);
+    maxHeap.offer(5);
+    maxHeap.offer(4);
+    
+    /* 获取堆顶元素 */
+    int peek = maxHeap.peek(); // 5
+    
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    // 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+    peek = maxHeap.poll(); // 5
+    peek = maxHeap.poll(); // 4
+    peek = maxHeap.poll(); // 3
+    peek = maxHeap.poll(); // 2
+    peek = maxHeap.poll(); // 1
+    
+    /* 获取堆大小 */
+    int size = maxHeap.size();
+    
+    /* 判断堆是否为空 */
+    boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
+    
+    /* 输入列表并建堆 */
+    minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="heap.cs"
+    /* 初始化堆 */
+    // 初始化小顶堆
+    PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
+    // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
+    PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y - x));
+
+    /* 元素入堆 */
+    maxHeap.Enqueue(1, 1);
+    maxHeap.Enqueue(3, 3);
+    maxHeap.Enqueue(2, 2);
+    maxHeap.Enqueue(5, 5);
+    maxHeap.Enqueue(4, 4);
+
+    /* 获取堆顶元素 */
+    int peek = maxHeap.Peek();//5
+
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    // 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+    peek = maxHeap.Dequeue();  // 5
+    peek = maxHeap.Dequeue();  // 4
+    peek = maxHeap.Dequeue();  // 3
+    peek = maxHeap.Dequeue();  // 2
+    peek = maxHeap.Dequeue();  // 1
+
+    /* 获取堆大小 */
+    int size = maxHeap.Count;
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;
+
+    /* 输入列表并建堆 */
+    minHeap = new PriorityQueue<int, int>(new List<(int, int)> { (1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4), });
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="heap.go"
+    // Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
+    // 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
+    type intHeap []any
+
+    // Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
+    func (h *intHeap) Push(x any) {
+        // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
+        // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
+        *h = append(*h, x.(int))
+    }
+
+    // Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
+    func (h *intHeap) Pop() any {
+        // 待出堆元素存放在最后
+        last := (*h)[len(*h)-1]
+        *h = (*h)[:len(*h)-1]
+        return last
+    }
+
+    // Len sort.Interface 的方法
+    func (h *intHeap) Len() int {
+        return len(*h)
+    }
+
+    // Less sort.Interface 的方法
+    func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
+        // 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
+        return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
+    }
+
+    // Swap sort.Interface 的方法
+    func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
+        (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
+    }
+
+    // Top 获取堆顶元素
+    func (h *intHeap) Top() any {
+        return (*h)[0]
+    }
+
+    /* Driver Code */
+    func TestHeap(t *testing.T) {
+        /* 初始化堆 */
+        // 初始化大顶堆
+        maxHeap := &intHeap{}
+        heap.Init(maxHeap)
+        /* 元素入堆 */
+        // 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
+        heap.Push(maxHeap, 1)
+        heap.Push(maxHeap, 3)
+        heap.Push(maxHeap, 2)
+        heap.Push(maxHeap, 4)
+        heap.Push(maxHeap, 5)
+
+        /* 获取堆顶元素 */
+        top := maxHeap.Top()
+        fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)
+
+        /* 堆顶元素出堆 */
+        // 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
+        heap.Pop(maxHeap) // 5
+        heap.Pop(maxHeap) // 4
+        heap.Pop(maxHeap) // 3
+        heap.Pop(maxHeap) // 2
+        heap.Pop(maxHeap) // 1
+
+        /* 获取堆大小 */
+        size := len(*maxHeap)
+        fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)
+
+        /* 判断堆是否为空 */
+        isEmpty := len(*maxHeap) == 0
+        fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="heap.swift"
+    // Swift 未提供内置 Heap 类
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="heap.js"
+    // JavaScript 未提供内置 Heap 类
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="heap.ts"
+    // TypeScript 未提供内置 Heap 类
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="heap.dart"
+    // Dart 未提供内置 Heap 类
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="heap.rs"
+    use std::collections::BinaryHeap;
+    use std::cmp::Reverse;
+
+    /* 初始化堆 */
+    // 初始化小顶堆
+    let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
+    // 初始化大顶堆
+    let mut max_heap = BinaryHeap::new();
+
+    /* 元素入堆 */
+    max_heap.push(1);
+    max_heap.push(3);
+    max_heap.push(2);
+    max_heap.push(5);
+    max_heap.push(4);
+    
+    /* 获取堆顶元素 */
+    let peek = max_heap.peek().unwrap();  // 5
+
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    // 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+    let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 5
+    let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 4
+    let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 3
+    let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 2
+    let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 1
+
+    /* 获取堆大小 */
+    let size = max_heap.len();
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    let is_empty = max_heap.is_empty();
+
+    /* 输入列表并建堆 */
+    let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="heap.c"
+    // C 未提供内置 Heap 类
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="heap.zig"
+
+    ```
+
+## 堆的实现
+
+下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。
+
+### 堆的存储与表示
+
+我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**我们将采用数组来存储堆**。
+
+当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。
+
+如下图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
+
+![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png)
+
+我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="my_heap.py"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="my_heap.cpp"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="my_heap.cs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{Left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{Right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{Parent}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="my_heap.go"
+    [class]{maxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{maxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{maxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="my_heap.swift"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="my_heap.js"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{#left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{#right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{#parent}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="my_heap.ts"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="my_heap.dart"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{_left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{_right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{_parent}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="my_heap.rs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="my_heap.c"
+    [class]{maxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{maxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{maxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="my_heap.zig"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{left}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{right}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{parent}
+    ```
+
+### 访问堆顶元素
+
+堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="my_heap.py"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="my_heap.cpp"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="my_heap.cs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{Peek}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="my_heap.go"
+    [class]{maxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="my_heap.swift"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="my_heap.js"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="my_heap.ts"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="my_heap.dart"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="my_heap.rs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="my_heap.c"
+    [class]{maxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="my_heap.zig"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{peek}
+    ```
+
+### 元素入堆
+
+给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 heapify」。
+
+考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
+
+=== "<1>"
+    ![元素入堆步骤](heap.assets/heap_push_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![heap_push_step2](heap.assets/heap_push_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![heap_push_step3](heap.assets/heap_push_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![heap_push_step4](heap.assets/heap_push_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![heap_push_step5](heap.assets/heap_push_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![heap_push_step7](heap.assets/heap_push_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![heap_push_step8](heap.assets/heap_push_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![heap_push_step9](heap.assets/heap_push_step9.png)
+
+设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="my_heap.py"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{sift_up}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="my_heap.cpp"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="my_heap.cs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{Push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{SiftUp}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="my_heap.go"
+    [class]{maxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{maxHeap}-[func]{siftUp}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="my_heap.swift"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="my_heap.js"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{#siftUp}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="my_heap.ts"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="my_heap.dart"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="my_heap.rs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{sift_up}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="my_heap.c"
+    [class]{maxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{maxHeap}-[func]{siftUp}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="my_heap.zig"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{push}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
+    ```
+
+### 堆顶元素出堆
+
+堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
+
+1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
+2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
+3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**。
+
+如下图所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
+
+=== "<1>"
+    ![堆顶元素出堆步骤](heap.assets/heap_pop_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![heap_pop_step2](heap.assets/heap_pop_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![heap_pop_step3](heap.assets/heap_pop_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![heap_pop_step4](heap.assets/heap_pop_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![heap_pop_step5](heap.assets/heap_pop_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![heap_pop_step6](heap.assets/heap_pop_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![heap_pop_step7](heap.assets/heap_pop_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![heap_pop_step8](heap.assets/heap_pop_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![heap_pop_step9](heap.assets/heap_pop_step9.png)
+
+=== "<10>"
+    ![heap_pop_step10](heap.assets/heap_pop_step10.png)
+
+与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="my_heap.py"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{sift_down}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="my_heap.cpp"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="my_heap.cs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{Pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{SiftDown}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="my_heap.go"
+    [class]{maxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{maxHeap}-[func]{siftDown}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="my_heap.swift"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="my_heap.js"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{#siftDown}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="my_heap.ts"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="my_heap.dart"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="my_heap.rs"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{sift_down}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="my_heap.c"
+    [class]{maxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{maxHeap}-[func]{siftDown}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="my_heap.zig"
+    [class]{MaxHeap}-[func]{pop}
+
+    [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
+    ```
+
+## 堆常见应用
+
+- **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
+- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见后续的堆排序章节。
+- **获取最大的 $k$ 个元素**：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

docs/chapter_heap/index.md

@@ -0,0 +1,13 @@
+# 堆
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+![堆](../assets/covers/chapter_heap.jpg){ width="600" }
+
+</div>
+
+!!! abstract
+
+    堆就像是山川的峰峦，它们层叠起伏、形态各异。
+    
+    每一座山峰都有其高低之分，而最高的山峰总是最先映入眼帘。

docs/chapter_heap/summary.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+# 小结
+
+### 重点回顾
+
+- 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。
+- 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。
+- 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 $O(\log n)$、堆顶元素出堆 $O(\log n)$ 和访问堆顶元素 $O(1)$ 等。
+- 完全二叉树非常适合用数组表示，因此我们通常使用数组来存储堆。
+- 堆化操作用于维护堆的性质，在入堆和出堆操作中都会用到。
+- 输入 $n$ 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 $O(n)$ ，非常高效。
+- Top-K 是一个经典算法问题，可以使用堆数据结构高效解决，时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。
+
+### Q & A
+
+!!! question "数据结构的“堆”与内存管理的“堆”是同一个概念吗？"
+
+    两者不是同一个概念，只是碰巧都叫堆。计算机系统内存中的堆是动态内存分配的一部分，程序在运行时可以使用它来存储数据。程序可以请求一定量的堆内存，用于存储如对象和数组等复杂结构。当这些数据不再需要时，程序需要释放这些内存，以防止内存泄露。相较于栈内存，堆内存的管理和使用需要更谨慎，不恰当的使用可能会导致内存泄露和野指针等问题。

docs/chapter_heap/top_k.md

@@ -0,0 +1,139 @@
+# Top-K 问题
+
+!!! question
+
+    给定一个长度为 $n$ 无序数组 `nums` ，请返回数组中前 $k$ 大的元素。
+
+对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。
+
+## 方法一：遍历选择
+
+我们可以进行下图所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$、$2$、$\dots$、$k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。
+
+此方法只适用于 $k \ll n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。
+
+![遍历寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_traversal.png)
+
+!!! tip
+
+    当 $k = n$ 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。
+
+## 方法二：排序
+
+如下图所示，我们可以先对数组 `nums` 进行排序，再返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+
+显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。
+
+![排序寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_sorting.png)
+
+## 方法三：堆
+
+我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如下图所示。
+
+1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
+2. 先将数组的前 $k$ 个元素依次入堆。
+3. 从第 $k + 1$ 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
+4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 $k$ 个元素。
+
+=== "<1>"
+    ![基于堆寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_heap_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![top_k_heap_step2](top_k.assets/top_k_heap_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![top_k_heap_step3](top_k.assets/top_k_heap_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![top_k_heap_step4](top_k.assets/top_k_heap_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![top_k_heap_step5](top_k.assets/top_k_heap_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![top_k_heap_step6](top_k.assets/top_k_heap_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![top_k_heap_step7](top_k.assets/top_k_heap_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![top_k_heap_step8](top_k.assets/top_k_heap_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![top_k_heap_step9](top_k.assets/top_k_heap_step9.png)
+
+总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。
+
+另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="top_k.py"
+    [class]{}-[func]{top_k_heap}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="top_k.cpp"
+    [class]{}-[func]{topKHeap}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="top_k.java"
+    [class]{top_k}-[func]{topKHeap}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="top_k.cs"
+    [class]{top_k}-[func]{TopKHeap}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="top_k.go"
+    [class]{}-[func]{topKHeap}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="top_k.swift"
+    [class]{}-[func]{topKHeap}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="top_k.js"
+    [class]{}-[func]{topKHeap}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="top_k.ts"
+    [class]{}-[func]{topKHeap}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="top_k.dart"
+    [class]{}-[func]{topKHeap}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="top_k.rs"
+    [class]{}-[func]{top_k_heap}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="top_k.c"
+    [class]{}-[func]{topKHeap}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="top_k.zig"
+    [class]{}-[func]{topKHeap}
+    ```