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docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
 
 # 2.3   时间复杂度
 
-运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？
+运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？
 
 1. **确定运行平台**，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
 2. **评估各种计算操作所需的运行时间**，例如加法操作 `+` 需要 1 ns ，乘法操作 `*` 需要 10 ns ，打印操作 `print()` 需要 5 ns 等。
@@ -190,7 +190,7 @@ comments: true
     }
     ```
 
-根据以上方法，可以得到算法运行时间为 $(6n + 12)$ ns ：
+根据以上方法，可以得到算法的运行时间为 $(6n + 12)$ ns ：
 
 $$
 1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12
@@ -202,7 +202,7 @@ $$
 
 时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，**而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势**。
 
-“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法函数 `A`、`B` 和 `C` ：
+“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法 `A`、`B` 和 `C` ：
 
 === "Python"
 
@@ -466,10 +466,10 @@ $$
 
 <p align="center"> 图 2-7 &nbsp; 算法 A、B 和 C 的时间增长趋势 </p>
 
-相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？
+相较于直接统计算法的运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？
 
-- **时间复杂度能够有效评估算法效率**。例如，算法 `B` 的运行时间呈线性增长，在 $n > 1$ 时比算法 `A` 更慢，在 $n > 1000000$ 时比算法 `C` 更慢。事实上，只要输入数据大小 $n$ 足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势所表达的含义。
-- **时间复杂度的推算方法更简便**。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样一来估算难度就大大降低了。
+- **时间复杂度能够有效评估算法效率**。例如，算法 `B` 的运行时间呈线性增长，在 $n > 1$ 时比算法 `A` 更慢，在 $n > 1000000$ 时比算法 `C` 更慢。事实上，只要输入数据大小 $n$ 足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势的含义。
+- **时间复杂度的推算方法更简便**。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。
 - **时间复杂度也存在一定的局限性**。例如，尽管算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 `B` 的时间复杂度比 `C` 高，但在输入数据大小 $n$ 较小时，算法 `B` 明显优于算法 `C` 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。
 
 ## 2.3.2 &nbsp; 函数渐近上界
@@ -643,7 +643,7 @@ $$
     }
     ```
 
-设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数，记为 $T(n)$ ，则以上函数的的操作数量为：
+设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数，记为 $T(n)$ ，则以上函数的操作数量为：
 
 $$
 T(n) = 3 + 2n
@@ -653,7 +653,7 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因
 
 我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号称为「大 $O$ 记号 big-$O$ notation」，表示函数 $T(n)$ 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。
 
-时间复杂度分析本质上是计算“操作数量函数 $T(n)$”的渐近上界，其具有明确的数学定义。
+时间复杂度分析本质上是计算“操作数量 $T(n)$”的渐近上界，它具有明确的数学定义。
 
 !!! abstract "函数渐近上界"
 
@@ -667,19 +667,19 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因
 
 ## 2.3.3 &nbsp; 推算方法
 
-渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义就可以逐渐领悟。
+渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。我们可以先掌握推算方法，在不断的实践中，就可以逐渐领悟其数学意义。
 
 根据定义，确定 $f(n)$ 之后，我们便可得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么如何确定渐近上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。
 
 ### 1. &nbsp; 第一步：统计操作数量
 
-针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，**因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。
+针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，**因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。
 
 1. **忽略 $T(n)$ 中的常数项**。因为它们都与 $n$ 无关，所以对时间复杂度不产生影响。
 2. **省略所有系数**。例如，循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次等，都可以简化记为 $n$ 次，因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度没有影响。
 3. **循环嵌套时使用乘法**。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 `1.` 点和第 `2.` 点的技巧。
 
-给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量。
+给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量：
 
 === "Python"
 
@@ -909,7 +909,7 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因
     }
     ```
 
-以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推出的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。
+以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推算出的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -921,7 +921,7 @@ $$
 
 ### 2. &nbsp; 第二步：判断渐近上界
 
-**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
+**时间复杂度由 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以忽略。
 
 表 2-2 展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 $n$ 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。
 
@@ -1447,7 +1447,7 @@ $$
 
 ### 3. &nbsp; 平方阶 $O(n^2)$
 
-平方阶的操作数量相对于输入数据大小 $n$ 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ ：
+平方阶的操作数量相对于输入数据大小 $n$ 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环的时间复杂度都为 $O(n)$ ，因此总体的时间复杂度为 $O(n^2)$ ：
 
 === "Python"
 
@@ -1646,7 +1646,7 @@ $$
 
 <p align="center"> 图 2-10 &nbsp; 常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度 </p>
 
-以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ 。
+以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ ：
 
 === "Python"
 
@@ -2283,13 +2283,13 @@ $$
     }
     ```
 
-指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心等算法来解决。
+指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心算法等来解决。
 
 ### 5. &nbsp; 对数阶 $O(\log n)$
 
 与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。
 
-图 2-12 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ，简记为 $O(\log n)$ 。
+图 2-12 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ，简记为 $O(\log n)$ ：
 
 === "Python"
 
@@ -2464,7 +2464,7 @@ $$
 
 <p align="center"> 图 2-12 &nbsp; 对数阶的时间复杂度 </p>
 
-与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树：
+与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一棵高度为 $\log_2 n$ 的递归树：
 
 === "Python"
 
@@ -2599,7 +2599,7 @@ $$
 
 !!! tip "$O(\log n)$ 的底数是多少？"
 
-    准确来说，“一分为 $m$”对应的时间复杂度是 $O(\log_m n)$ 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数的、相等的时间复杂度：
+    准确来说，“一分为 $m$”对应的时间复杂度是 $O(\log_m n)$ 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数、相等的时间复杂度：
 
     $$
     O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
@@ -3358,12 +3358,12 @@ $$
 
 值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。**而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值**，让我们可以放心地使用算法。
 
-从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，**平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率**，用 $\Theta$ 记号来表示。
+从上述示例可以看出，最差时间复杂度和最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，**平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率**，用 $\Theta$ 记号来表示。
 
 对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 $n / 2$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(n / 2) = \Theta(n)$ 。
 
-但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往是比较困难的，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。
+但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往比较困难，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。
 
 !!! question "为什么很少看到 $\Theta$ 符号？"
 
-    可能由于 $O$ 符号过于朗朗上口，我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上看，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 $O(n)$”的表述，请将其直接理解为 $\Theta(n)$ 。
+    可能由于 $O$ 符号过于朗朗上口，因此我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上讲，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 $O(n)$”的表述，请将其直接理解为 $\Theta(n)$ 。