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16
docs/chapter_tree/avl_tree.md
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@@ -4,11 +4,11 @@
如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
![avltree_degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png)
![AVL 树在删除结点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png)
再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
![avltree_degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png)
![AVL 树在插入结点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png)
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
@@ -323,7 +323,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
![avltree_right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png)
![有 grandChild 的右旋操作](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png)
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。
@@ -391,11 +391,11 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要「左旋」操作。
![avltree_left_rotate](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png)
![左旋操作](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png)
同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
![avltree_left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png)
![有 grandChild 的左旋操作](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png)
观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到「左旋」代码。
@@ -463,19 +463,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
![avltree_left_right_rotate](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png)
![先左旋后右旋](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png)
### Case 4 - 先右后左
同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
![avltree_right_left_rotate](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png)
![先右旋后左旋](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png)
### 旋转的选择
下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应，分别需采用 **右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。
![avltree_rotation_cases](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png)
![AVL 树的四种旋转情况](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png)
具体地，在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。

12
docs/chapter_tree/binary_search_tree.md
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@@ -5,7 +5,7 @@
1. 对于根结点，左子树中所有结点的值 $<$ 根结点的值 $<$ 右子树中所有结点的值；
2. 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 `1.` ；
![binary_search_tree](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png)
![二叉搜索树](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png)
## 二叉搜索树的操作
@@ -100,7 +100,7 @@
二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。
![bst_insert](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)
![在二叉搜索树中插入结点](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)
=== "Java"
@@ -172,11 +172,11 @@
**当待删除结点的子结点数量 $= 0$ 时**，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。
![bst_remove_case1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)
![在二叉搜索树中删除结点（度为 0）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)
**当待删除结点的子结点数量 $= 1$ 时**，将待删除结点替换为其子结点即可。
![bst_remove_case2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)
![在二叉搜索树中删除结点（度为 1）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)
**当待删除结点的子结点数量 $= 2$ 时**，删除操作分为三步：
@@ -284,7 +284,7 @@
借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，而无需额外排序，非常高效。
![bst_inorder_traversal](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png)
![二叉搜索树的中序遍历序列](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png)
## 二叉搜索树的效率
@@ -325,7 +325,7 @@
在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。
![bst_degradation](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png)
![二叉搜索树的平衡与退化](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png)
## 二叉搜索树常见应用

32
docs/chapter_tree/binary_tree.md
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@@ -127,9 +127,7 @@
除了叶结点外，每个结点都有子结点和子树。例如，若将下图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 及其以下结点形成的树」和「结点 5 及其以下结点形成的树」。
![binary_tree_definition](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
<p align="center"> Fig. 子结点与子树 </p>
![父结点、子结点、子树](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
## 二叉树常见术语
@@ -144,9 +142,7 @@
- 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
- 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；
![binary_tree_terminology](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
<p align="center"> Fig. 二叉树的常见术语 </p>
![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
!!! tip "高度与深度的定义"
@@ -304,9 +300,7 @@
**插入与删除结点**。与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。
![binary_tree_add_remove](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除结点 </p>
![在二叉树中插入与删除结点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
=== "Java"
@@ -428,7 +422,7 @@
在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。
![perfect_binary_tree](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)
![完美二叉树](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)
### 完全二叉树
@@ -436,19 +430,19 @@
**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
![complete_binary_tree](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
### 完满二叉树
「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。
![full_binary_tree](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)
![完满二叉树](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)
### 平衡二叉树
「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
![balanced_binary_tree](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)
![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)
## 二叉树的退化
@@ -457,9 +451,7 @@
- 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；
![binary_tree_corner_cases](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)
<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳和最差结构 </p>
![二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)
如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
@@ -482,11 +474,11 @@
**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意结点，我们都可以使用映射公式来访问子结点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
![array_representation_mapping](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)
![完美二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)
然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空结点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空结点，并且我们无法单凭序列来猜测空结点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
![array_representation_without_empty](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
![给定数组对应多种二叉树可能性](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
为了解决此问题，考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，**即在序列中使用特殊符号来显式地表示“空位”**。如下图所示，这样处理后，序列（数组）就可以唯一表示二叉树了。
@@ -565,10 +557,10 @@
```
![array_representation_with_empty](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
![任意类型二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空结点，并且最底层的结点尽量靠左，因而所有空结点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
![array_representation_complete_binary_tree](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
![完全二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问结点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少结点的数据，空间利用率很低。

4
docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md
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@@ -10,7 +10,7 @@
层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。
![binary_tree_bfs](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png)
![二叉树的层序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png)
<p align="center"> Fig. 二叉树的层序遍历 </p>
@@ -90,7 +90,7 @@
如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
![binary_tree_dfs](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png)
![二叉搜索树的前、中、后序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png)
<p align="center"> Fig. 二叉树的前 / 中 / 后序遍历 </p>