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krahets
@ -3426,12 +3426,13 @@
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<h1 id="82">8.2 建堆操作<a class="headerlink" href="#82" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。</p>
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<p>在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为「建堆」。</p>
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<h2 id="821">8.2.1 借助入堆方法实现<a class="headerlink" href="#821" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。</p>
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<p>设元素数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 <span class="arithmatex">\(\frac{n}{2}\)</span> ，因此该方法的总体时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
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<p>最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现。我们首先创建一个空堆，然后将列表元素依次执行“入堆”。</p>
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<p>设元素数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，入堆操作使用 <span class="arithmatex">\(O(\log{n})\)</span> 时间，因此将所有元素入堆的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
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<h2 id="822">8.2.2 基于堆化操作实现<a class="headerlink" href="#822" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，<strong>然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”</strong>。当然，<strong>我们不需要对叶节点执行堆化操作</strong>，因为它们没有子节点。</p>
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<p>有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度可以达到 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，然后倒序遍历该堆，依次对每个节点执行“从顶至底堆化”。</p>
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<p>请注意，因为叶节点没有子节点，所以无需堆化。在代码实现中，我们从最后一个节点的父节点开始进行堆化。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JS</label><label for="__tabbed_1_6">TS</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label><label for="__tabbed_1_12">Rust</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@ -3590,7 +3591,7 @@
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<h2 id="823">8.2.3 复杂度分析<a class="headerlink" href="#823" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ？我们来展开推算一下。</p>
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<ul>
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<li>完全二叉树中，设节点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则叶节点数量为 <span class="arithmatex">\((n + 1) / 2\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(/\)</span> 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 <span class="arithmatex">\((n - 1)/2\)</span> ，复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</li>
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<li>在完全二叉树中，设节点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则叶节点数量为 <span class="arithmatex">\((n + 1) / 2\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(/\)</span> 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 <span class="arithmatex">\((n - 1)/2\)</span> ，复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</li>
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<li>在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。</li>
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</ul>
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<p>将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。<strong>然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性</strong>。</p>
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@ -3609,7 +3610,7 @@ T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
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2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
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\end{aligned}
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\]</div>
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<p><strong>使用错位相减法</strong>，令下式 <span class="arithmatex">\(2 T(h)\)</span> 减去上式 <span class="arithmatex">\(T(h)\)</span> ，可得</p>
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<p>使用错位相减法，用下式 <span class="arithmatex">\(2 T(h)\)</span> 减去上式 <span class="arithmatex">\(T(h)\)</span> ，可得</p>
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<div class="arithmatex">\[
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2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
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\]</div>
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@ -1583,29 +1583,29 @@
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_1" class="md-nav__link">
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堆的存储与表示
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<a href="#1" class="md-nav__link">
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1. 堆的存储与表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_2" class="md-nav__link">
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访问堆顶元素
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<a href="#2" class="md-nav__link">
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2. 访问堆顶元素
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</a>
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</li>
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<a href="#_3" class="md-nav__link">
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元素入堆
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<a href="#3" class="md-nav__link">
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3. 元素入堆
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_4" class="md-nav__link">
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堆顶元素出堆
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<a href="#4" class="md-nav__link">
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4. 堆顶元素出堆
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</li>
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@ -3431,29 +3431,29 @@
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<ul class="md-nav__list">
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<a href="#_1" class="md-nav__link">
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堆的存储与表示
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1. 堆的存储与表示
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访问堆顶元素
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2. 访问堆顶元素
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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元素入堆
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3. 元素入堆
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_4" class="md-nav__link">
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堆顶元素出堆
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<a href="#4" class="md-nav__link">
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4. 堆顶元素出堆
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</a>
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</li>
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@ -3813,7 +3813,7 @@
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<h2 id="812">8.1.2 堆的实现<a class="headerlink" href="#812" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 <span class="arithmatex">\(\geq\)</span> 替换为 <span class="arithmatex">\(\leq\)</span> ）。感兴趣的读者可以自行实现。</p>
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<h3 id="_1">堆的存储与表示<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<h3 id="1">1. 堆的存储与表示<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，<strong>我们将采用数组来存储堆</strong>。</p>
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<p>当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。<strong>节点指针通过索引映射公式来实现</strong>。</p>
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<p>具体而言，给定索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其左子节点索引为 <span class="arithmatex">\(2i + 1\)</span> ，右子节点索引为 <span class="arithmatex">\(2i + 2\)</span> ，父节点索引为 <span class="arithmatex">\((i - 1) / 2\)</span>（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。</p>
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@ -4028,7 +4028,7 @@
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<h3 id="_2">访问堆顶元素<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<h3 id="2">2. 访问堆顶元素<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:12"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_12" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JS</label><label for="__tabbed_3_6">TS</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label><label for="__tabbed_3_12">Rust</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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@ -4117,7 +4117,7 @@
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<h3 id="_3">元素入堆<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<h3 id="3">3. 元素入堆<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>给定元素 <code>val</code> ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，<strong>需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点</strong>，这个操作被称为「堆化 Heapify」。</p>
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<p>考虑从入堆节点开始，<strong>从底至顶执行堆化</strong>。具体来说，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无需交换的节点时结束。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:9"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_5" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_6" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_7" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_8" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_9" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1"><1></label><label for="__tabbed_4_2"><2></label><label for="__tabbed_4_3"><3></label><label for="__tabbed_4_4"><4></label><label for="__tabbed_4_5"><5></label><label for="__tabbed_4_6"><6></label><label for="__tabbed_4_7"><7></label><label for="__tabbed_4_8"><8></label><label for="__tabbed_4_9"><9></label></div>
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@ -4470,7 +4470,7 @@
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</div>
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<h3 id="_4">堆顶元素出堆<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<h3 id="4">4. 堆顶元素出堆<a class="headerlink" href="#4" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：</p>
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<ol>
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<li>交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。</li>
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