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49
chapter_searching/binary_search/index.html
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@ -1368,7 +1368,7 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#1023" class="md-nav__link">
10.2.3. &nbsp; 优点与缺点
10.2.3. &nbsp; 优点与局限性
</a>
</li>
@ -1793,7 +1793,7 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#1023" class="md-nav__link">
10.2.3. &nbsp; 优点与缺点
10.2.3. &nbsp; 优点与局限性
</a>
</li>
@ -1822,24 +1822,19 @@
<h1 id="102">10.2. &nbsp; 二分查找<a class="headerlink" href="#102" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p>「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮缩小一半搜索区间来查找目标元素。</p>
<p>使用二分查找有两个前置条件：</p>
<ul>
<li><strong>要求输入数据是有序的</strong>，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间；</li>
<li><strong>二分查找仅适用于数组</strong>，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。</li>
</ul>
<p>「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮减少一半搜索范围来定位目标元素。</p>
<h2 id="1021">10.2.1. &nbsp; 算法实现<a class="headerlink" href="#1021" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的排序数组 <code>nums</code> ，元素从小到大排列。数组的索引取值范围为</p>
<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> ，元素按从小到大的顺序排列。数组索引的取值范围为：</p>
<div class="arithmatex">\[
0, 1, 2, \cdots, n-1
\]</div>
<p>使用「区间」来表示这个取值范围的方法主要有两种：</p>
<p>我们通常使用以下两种方法来表示这个取值范围：</p>
<ol>
<li><strong>双闭区间 <span class="arithmatex">\([0, n-1]\)</span></strong> ，即两个边界都包含自身；此方法下，区间 <span class="arithmatex">\([0, 0]\)</span> 仍包含一个元素；</li>
<li><strong>左闭右开 <span class="arithmatex">\([0, n)\)</span></strong> ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；此方法下，区间 <span class="arithmatex">\([0, 0)\)</span> 为空；</li>
<li><strong>双闭区间 <span class="arithmatex">\([0, n-1]\)</span></strong> ，即两个边界都包含自身；在此方法下，区间 <span class="arithmatex">\([0, 0]\)</span> 仍包含 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 个元素；</li>
<li><strong>左闭右开 <span class="arithmatex">\([0, n)\)</span></strong> ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；在此方法下，区间 <span class="arithmatex">\([0, 0)\)</span> 不包含元素；</li>
</ol>
<h3 id="_1">“双闭区间”实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>首先，我们先采用“双闭区间”的表示，在数组 <code>nums</code> 中查找目标元素 <code>target</code> 的对应索引。</p>
<p>首先，我们采用“双闭区间”表示法，在数组 <code>nums</code> 中查找目标元素 <code>target</code> 的对应索引。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:7"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_1_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_1_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_1_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_1_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_1_7">&lt;7&gt;</label></div>
<div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block">
@ -1865,7 +1860,7 @@
</div>
</div>
</div>
<p>二分查找“双闭区间”表示下的代码如下所示。</p>
<p>二分查找在“双闭区间”表示下的代码如下所示。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label></div>
<div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block">
@ -2058,7 +2053,7 @@
</div>
</div>
<h3 id="_2">“左闭右开”实现<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>当然，我们也可以使用“左闭右开”的表示方法，写出相同功能的二分查找代码。</p>
<p>此外，我们也可以采用“左闭右开”的表示法，编写具有相同功能的二分查找代码。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:10"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label></div>
<div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block">
@ -2252,7 +2247,7 @@
</div>
</div>
<h3 id="_3">两种表示对比<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>对比下来，两种表示的代码写法有以下不同点：</p>
<p>对比这两种代码写法，我们可以发现以下不同点：</p>
<div class="center-table">
<table>
<thead>
@ -2279,9 +2274,9 @@
</tbody>
</table>
</div>
<p>观察发现，在“双闭区间”表示中，由于对左右两边界的定义是相同的，因此缩小区间的 <span class="arithmatex">\(i\)</span> , <span class="arithmatex">\(j\)</span> 处理方法也是对称的，这样更不容易出错。综上所述，<strong>建议你采用“双闭区间”的写法。</strong></p>
<p>在“双闭区间”表示法中，由于对左右两边界的定义相同，因此缩小区间的 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 的处理方法也是对称的，这样更不容易出错。因此，<strong>建议采用“双闭区间”的写法</strong>。</p>
<h3 id="_4">大数越界处理<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>当数组长度很大时，加法 <span class="arithmatex">\(i + j\)</span> 的结果有可能会超出 <code>int</code> 类型的取值范围。在此情况下，我们需要换一种计算中点的写法。</p>
<p>当数组长度非常大时，加法 <span class="arithmatex">\(i + j\)</span> 的结果可能会超出 <code>int</code> 类型的取值范围。在这种情况下，我们需要采用一种更安全的计算中点的方法。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:10"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_5" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_6" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_7" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_8" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_9" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_10" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1">Java</label><label for="__tabbed_4_2">C++</label><label for="__tabbed_4_3">Python</label><label for="__tabbed_4_4">Go</label><label for="__tabbed_4_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_4_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_4_7">C</label><label for="__tabbed_4_8">C#</label><label for="__tabbed_4_9">Swift</label><label for="__tabbed_4_10">Zig</label></div>
<div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block">
@ -2349,19 +2344,19 @@
</div>
</div>
<h2 id="1022">10.2.2. &nbsp; 复杂度分析<a class="headerlink" href="#1022" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p><strong>时间复杂度 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span></strong> ：其中 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 <span class="arithmatex">\(\log_2 n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 时间。</p>
<p><strong>时间复杂度 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span></strong> ：其中 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 为数组长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 <span class="arithmatex">\(\log_2 n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 时间。</p>
<p><strong>空间复杂度 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span></strong> ：指针 <code>i</code> , <code>j</code> 使用常数大小空间。</p>
<h2 id="1023">10.2.3. &nbsp; 优点与缺点<a class="headerlink" href="#1023" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>二分查找效率很高，体现在：</p>
<h2 id="1023">10.2.3. &nbsp; 优点与局限性<a class="headerlink" href="#1023" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>二分查找效率很高，主要体现在：</p>
<ul>
<li><strong>二分查找时间复杂度低</strong>。对数阶在数据量很大时具有巨大优势，例如，当数据大小 <span class="arithmatex">\(n = 2^{20}\)</span> 时，线性查找需要 <span class="arithmatex">\(2^{20} = 1048576\)</span> 轮循环，而二分查找仅需要 <span class="arithmatex">\(\log_2 2^{20} = 20\)</span> 轮循环。</li>
<li><strong>二分查找不需要额外空间</strong>。相对于借助额外数据结构来实现查找的算法来说，其更加节约空间使用。</li>
<li><strong>二分查找的时间复杂度较低</strong>。对数阶在大数据量情况下具有显著优势。例如，当数据大小 <span class="arithmatex">\(n = 2^{20}\)</span> 时，线性查找需要 <span class="arithmatex">\(2^{20} = 1048576\)</span> 轮循环，而二分查找仅需 <span class="arithmatex">\(\log_2 2^{20} = 20\)</span> 轮循环。</li>
<li><strong>二分查找无需额外空间</strong>。与哈希查找相比，二分查找更加节省空间。</li>
</ul>
<p>但并不意味着所有情况下都应使用二分查找，这是因为：</p>
<p>然而，并非所有情况下都可使用二分查找，原因如下：</p>
<ul>
<li><strong>二分查找仅适用于有序数据</strong>。如果输入数据是无序的，为了使用二分查找而专门执行数据排序，那么是得不偿失的，因为排序算法的时间复杂度一般为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> ，比线性查找和二分查找都更差。再例如，对于频繁插入元素的场景，为了保持数组的有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ，也是非常昂贵的。</li>
<li><strong>二分查找仅适用于数组</strong>。由于在二分查找中，访问索引是 “非连续” 的，因此链表或者基于链表实现的数据结构都无法使用。</li>
<li><strong>在小数据量下，线性查找的性能更好</strong>。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，在数据量 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 较小时，线性查找反而比二分查找更快。</li>
<li><strong>二分查找仅适用于有序数据</strong>。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ，也是非常昂贵的。</li>
<li><strong>二分查找仅适用于数组</strong>。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。</li>
<li><strong>小数据量下，线性查找性能更佳</strong>。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 较小时，线性查找反而比二分查找更快。</li>
</ul>