algorithm/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2025-07-30 22:03:47 +08:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2024-04-06 03:02:20 +08:00
parent 0a9daa8b9f
commit 8d37c215c8
148 changed files with 70398 additions and 408 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

978
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md Normal file
View File

@ -0,0 +1,978 @@
---
comments: true
---
# 14.2   動態規劃問題特性
在上一節中，我們學習了動態規劃是如何透過子問題分解來求解原問題的。實際上，子問題分解是一種通用的演算法思路，在分治、動態規劃、回溯中的側重點不同。
- 分治演算法遞迴地將原問題劃分為多個相互獨立的子問題，直至最小子問題，並在回溯中合併子問題的解，最終得到原問題的解。
- 動態規劃也對問題進行遞迴分解，但與分治演算法的主要區別是，動態規劃中的子問題是相互依賴的，在分解過程中會出現許多重疊子問題。
- 回溯演算法在嘗試和回退中窮舉所有可能的解，並透過剪枝避免不必要的搜尋分支。原問題的解由一系列決策步驟構成，我們可以將每個決策步驟之前的子序列看作一個子問題。
實際上，動態規劃常用來求解最最佳化問題，它們不僅包含重疊子問題，還具有另外兩大特性：最優子結構、無後效性。
## 14.2.1   最優子結構
我們對爬樓梯問題稍作改動，使之更加適合展示最優子結構概念。
!!! question "爬樓梯最小代價"
給定一個樓梯，你每步可以上 $1$ 階或者 $2$ 階，每一階樓梯上都貼有一個非負整數，表示你在該臺階所需要付出的代價。給定一個非負整數陣列 $cost$ ，其中 $cost[i]$ 表示在第 $i$ 個臺階需要付出的代價，$cost[0]$ 為地面（起始點）。請計算最少需要付出多少代價才能到達頂部？
如圖 14-6 所示，若第 $1$、$2$、$3$ 階的代價分別為 $1$、$10$、$1$ ，則從地面爬到第 $3$ 階的最小代價為 $2$ 。
![爬到第 3 階的最小代價](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_example.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 14-6 &nbsp; 爬到第 3 階的最小代價 </p>
設 $dp[i]$ 為爬到第 $i$ 階累計付出的代價，由於第 $i$ 階只可能從 $i - 1$ 階或 $i - 2$ 階走來，因此 $dp[i]$ 只可能等於 $dp[i - 1] + cost[i]$ 或 $dp[i - 2] + cost[i]$ 。為了儘可能減少代價，我們應該選擇兩者中較小的那一個：
$$
dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
$$
這便可以引出最優子結構的含義：**原問題的最優解是從子問題的最優解構建得來的**。
本題顯然具有最優子結構：我們從兩個子問題最優解 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 中挑選出較優的那一個，並用它構建出原問題 $dp[i]$ 的最優解。
那麼，上一節的爬樓梯題目有沒有最優子結構呢？它的目標是求解方案數量，看似是一個計數問題，但如果換一種問法：“求解最大方案數量”。我們意外地發現，**雖然題目修改前後是等價的，但最優子結構浮現出來了**：第 $n$ 階最大方案數量等於第 $n-1$ 階和第 $n-2$ 階最大方案數量之和。所以說，最優子結構的解釋方式比較靈活，在不同問題中會有不同的含義。
根據狀態轉移方程，以及初始狀態 $dp[1] = cost[1]$ 和 $dp[2] = cost[2]$ ，我們就可以得到動態規劃程式碼：
=== "Python"
```python title="min_cost_climbing_stairs_dp.py"
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost: list[int]) -> int:
"""爬樓梯最小代價：動態規劃"""
n = len(cost) - 1
if n == 1 or n == 2:
return cost[n]
# 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp = [0] * (n + 1)
# 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
# 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
return dp[n]
```
=== "C++"
```cpp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cpp"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDP(vector<int> &cost) {
int n = cost.size() - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
vector<int> dp(n + 1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "Java"
```java title="min_cost_climbing_stairs_dp.java"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
int n = cost.length - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "C#"
```csharp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cs"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int MinCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
int n = cost.Length - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = Math.Min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "Go"
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
func minCostClimbingStairsDP(cost []int) int {
n := len(cost) - 1
if n == 1 || n == 2 {
return cost[n]
}
min := func(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp := make([]int, n+1)
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1]
dp[2] = cost[2]
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i := 3; i <= n; i++ {
dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
}
return dp[n]
}
```
=== "Swift"
```swift title="min_cost_climbing_stairs_dp.swift"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
func minCostClimbingStairsDP(cost: [Int]) -> Int {
let n = cost.count - 1
if n == 1 || n == 2 {
return cost[n]
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1]
dp[2] = cost[2]
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in 3 ... n {
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
}
return dp[n]
}
```
=== "JS"
```javascript title="min_cost_climbing_stairs_dp.js"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
function minCostClimbingStairsDP(cost) {
const n = cost.length - 1;
if (n === 1 || n === 2) {
return cost[n];
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
const dp = new Array(n + 1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (let i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "TS"
```typescript title="min_cost_climbing_stairs_dp.ts"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
function minCostClimbingStairsDP(cost: Array<number>): number {
const n = cost.length - 1;
if (n === 1 || n === 2) {
return cost[n];
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
const dp = new Array(n + 1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (let i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "Dart"
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDP(List<int> cost) {
int n = cost.length - 1;
if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "Rust"
```rust title="min_cost_climbing_stairs_dp.rs"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
fn min_cost_climbing_stairs_dp(cost: &[i32]) -> i32 {
let n = cost.len() - 1;
if n == 1 || n == 2 {
return cost[n];
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
let mut dp = vec![-1; n + 1];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in 3..=n {
dp[i] = cmp::min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
dp[n]
}
```
=== "C"
```c title="min_cost_climbing_stairs_dp.c"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDP(int cost[], int costSize) {
int n = costSize - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int *dp = calloc(n + 1, sizeof(int));
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = myMin(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
int res = dp[n];
// 釋放記憶體
free(dp);
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="min_cost_climbing_stairs_dp.kt"
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
fun minCostClimbingStairsDP(cost: IntArray): Int {
val n = cost.size - 1
if (n == 1 || n == 2) return cost[n]
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
val dp = IntArray(n + 1)
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1]
dp[2] = cost[2]
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (i in 3..n) {
dp[i] = (min(dp[i - 1].toDouble(), dp[i - 2].toDouble()) + cost[i]).toInt()
}
return dp[n]
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="min_cost_climbing_stairs_dp.rb"
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp}
```
=== "Zig"
```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
// 爬樓梯最小代價：動態規劃
fn minCostClimbingStairsDP(comptime cost: []i32) i32 {
comptime var n = cost.len - 1;
if (n == 1 or n == 2) {
return cost[n];
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (3..n + 1) |i| {
dp[i] = @min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E4%BB%B7%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%20%3D%20cost%5B1%5D,%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%202%5D%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0,%201,%2010,%201,%201,%201,%2010,%201,%201,%2010,%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E5%88%97%E8%A1%A8%E4%B8%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E4%BB%B7%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%20%3D%20cost%5B1%5D,%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%202%5D%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0,%201,%2010,%201,%201,%201,%2010,%201,%201,%2010,%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E5%88%97%E8%A1%A8%E4%B8%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
圖 14-7 展示了以上程式碼的動態規劃過程。
![爬樓梯最小代價的動態規劃過程](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 14-7 &nbsp; 爬樓梯最小代價的動態規劃過程 </p>
本題也可以進行空間最佳化，將一維壓縮至零維，使得空間複雜度從 $O(n)$ 降至 $O(1)$ ：
=== "Python"
```python title="min_cost_climbing_stairs_dp.py"
def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: list[int]) -> int:
"""爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃"""
n = len(cost) - 1
if n == 1 or n == 2:
return cost[n]
a, b = cost[1], cost[2]
for i in range(3, n + 1):
a, b = b, min(a, b) + cost[i]
return b
```
=== "C++"
```cpp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cpp"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDPComp(vector<int> &cost) {
int n = cost.size() - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Java"
```java title="min_cost_climbing_stairs_dp.java"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
int n = cost.length - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "C#"
```csharp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cs"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int MinCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
int n = cost.Length - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = Math.Min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Go"
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
func minCostClimbingStairsDPComp(cost []int) int {
n := len(cost) - 1
if n == 1 || n == 2 {
return cost[n]
}
min := func(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
// 初始狀態：預設最小子問題的解
a, b := cost[1], cost[2]
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i := 3; i <= n; i++ {
tmp := b
b = min(a, tmp) + cost[i]
a = tmp
}
return b
}
```
=== "Swift"
```swift title="min_cost_climbing_stairs_dp.swift"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
func minCostClimbingStairsDPComp(cost: [Int]) -> Int {
let n = cost.count - 1
if n == 1 || n == 2 {
return cost[n]
}
var (a, b) = (cost[1], cost[2])
for i in 3 ... n {
(a, b) = (b, min(a, b) + cost[i])
}
return b
}
```
=== "JS"
```javascript title="min_cost_climbing_stairs_dp.js"
/* 爬樓梯最小代價：狀態壓縮後的動態規劃 */
function minCostClimbingStairsDPComp(cost) {
const n = cost.length - 1;
if (n === 1 || n === 2) {
return cost[n];
}
let a = cost[1],
b = cost[2];
for (let i = 3; i <= n; i++) {
const tmp = b;
b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "TS"
```typescript title="min_cost_climbing_stairs_dp.ts"
/* 爬樓梯最小代價：狀態壓縮後的動態規劃 */
function minCostClimbingStairsDPComp(cost: Array<number>): number {
const n = cost.length - 1;
if (n === 1 || n === 2) {
return cost[n];
}
let a = cost[1],
b = cost[2];
for (let i = 3; i <= n; i++) {
const tmp = b;
b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Dart"
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDPComp(List<int> cost) {
int n = cost.length - 1;
if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Rust"
```rust title="min_cost_climbing_stairs_dp.rs"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
fn min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: &[i32]) -> i32 {
let n = cost.len() - 1;
if n == 1 || n == 2 {
return cost[n];
};
let (mut a, mut b) = (cost[1], cost[2]);
for i in 3..=n {
let tmp = b;
b = cmp::min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
b
}
```
=== "C"
```c title="min_cost_climbing_stairs_dp.c"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int cost[], int costSize) {
int n = costSize - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = myMin(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="min_cost_climbing_stairs_dp.kt"
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
fun minCostClimbingStairsDPComp(cost: IntArray): Int {
val n = cost.size - 1
if (n == 1 || n == 2) return cost[n]
var a = cost[1]
var b = cost[2]
for (i in 3..n) {
val tmp = b
b = (min(a.toDouble(), tmp.toDouble()) + cost[i]).toInt()
a = tmp
}
return b
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="min_cost_climbing_stairs_dp.rb"
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp_comp}
```
=== "Zig"
```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
// 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃
fn minCostClimbingStairsDPComp(cost: []i32) i32 {
var n = cost.len - 1;
if (n == 1 or n == 2) {
return cost[n];
}
var a = cost[1];
var b = cost[2];
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (3..n + 1) |i| {
var tmp = b;
b = @min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 513px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E4%BB%B7%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20cost%5B1%5D,%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20b,%20min%28a,%20b%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0,%201,%2010,%201,%201,%201,%2010,%201,%201,%2010,%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E5%88%97%E8%A1%A8%E4%B8%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E4%BB%B7%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20cost%5B1%5D,%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20b,%20min%28a,%20b%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0,%201,%2010,%201,%201,%201,%2010,%201,%201,%2010,%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E5%88%97%E8%A1%A8%E4%B8%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
## 14.2.2 &nbsp; 無後效性
無後效性是動態規劃能夠有效解決問題的重要特性之一，其定義為：**給定一個確定的狀態，它的未來發展只與當前狀態有關，而與過去經歷的所有狀態無關**。
以爬樓梯問題為例，給定狀態 $i$ ，它會發展出狀態 $i+1$ 和狀態 $i+2$ ，分別對應跳 $1$ 步和跳 $2$ 步。在做出這兩種選擇時，我們無須考慮狀態 $i$ 之前的狀態，它們對狀態 $i$ 的未來沒有影響。
然而，如果我們給爬樓梯問題新增一個約束，情況就不一樣了。
!!! question "帶約束爬樓梯"
給定一個共有 $n$ 階的樓梯，你每步可以上 $1$ 階或者 $2$ 階，**但不能連續兩輪跳 $1$ 階**，請問有多少種方案可以爬到樓頂？
如圖 14-8 所示，爬上第 $3$ 階僅剩 $2$ 種可行方案，其中連續三次跳 $1$ 階的方案不滿足約束條件，因此被捨棄。
![帶約束爬到第 3 階的方案數量](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 14-8 &nbsp; 帶約束爬到第 3 階的方案數量 </p>
在該問題中，如果上一輪是跳 $1$ 階上來的，那麼下一輪就必須跳 $2$ 階。這意味著，**下一步選擇不能由當前狀態（當前所在樓梯階數）獨立決定，還和前一個狀態（上一輪所在樓梯階數）有關**。
不難發現，此問題已不滿足無後效性，狀態轉移方程 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 也失效了，因為 $dp[i-1]$ 代表本輪跳 $1$ 階，但其中包含了許多“上一輪是跳 $1$ 階上來的”方案，而為了滿足約束，我們就不能將 $dp[i-1]$ 直接計入 $dp[i]$ 中。
為此，我們需要擴展狀態定義：**狀態 $[i, j]$ 表示處在第 $i$ 階並且上一輪跳了 $j$ 階**，其中 $j \in \{1, 2\}$ 。此狀態定義有效地區分了上一輪跳了 $1$ 階還是 $2$ 階，我們可以據此判斷當前狀態是從何而來的。
- 當上一輪跳了 $1$ 階時，上上一輪只能選擇跳 $2$ 階，即 $dp[i, 1]$ 只能從 $dp[i-1, 2]$ 轉移過來。
- 當上一輪跳了 $2$ 階時，上上一輪可選擇跳 $1$ 階或跳 $2$ 階，即 $dp[i, 2]$ 可以從 $dp[i-2, 1]$ 或 $dp[i-2, 2]$ 轉移過來。
如圖 14-9 所示，在該定義下，$dp[i, j]$ 表示狀態 $[i, j]$ 對應的方案數。此時狀態轉移方程為：
$$
\begin{cases}
dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\
dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
\end{cases}
$$
![考慮約束下的遞推關係](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 14-9 &nbsp; 考慮約束下的遞推關係 </p>
最終，返回 $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ 即可，兩者之和代表爬到第 $n$ 階的方案總數：
=== "Python"
```python title="climbing_stairs_constraint_dp.py"
def climbing_stairs_constraint_dp(n: int) -> int:
"""帶約束爬樓梯：動態規劃"""
if n == 1 or n == 2:
return 1
# 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
# 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
# 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in range(3, n + 1):
dp[i][1] = dp[i - 1][2]
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
return dp[n][1] + dp[n][2]
```
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_constraint_dp.cpp"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_constraint_dp.java"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int[][] dp = new int[n + 1][3];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_constraint_dp.cs"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int ClimbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int[,] dp = new int[n + 1, 3];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1, 1] = 1;
dp[1, 2] = 0;
dp[2, 1] = 0;
dp[2, 2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i, 1] = dp[i - 1, 2];
dp[i, 2] = dp[i - 2, 1] + dp[i - 2, 2];
}
return dp[n, 1] + dp[n, 2];
}
```
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_constraint_dp.go"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
func climbingStairsConstraintDP(n int) int {
if n == 1 || n == 2 {
return 1
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp := make([][3]int, n+1)
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1
dp[1][2] = 0
dp[2][1] = 0
dp[2][2] = 1
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i := 3; i <= n; i++ {
dp[i][1] = dp[i-1][2]
dp[i][2] = dp[i-2][1] + dp[i-2][2]
}
return dp[n][1] + dp[n][2]
}
```
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_constraint_dp.swift"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
func climbingStairsConstraintDP(n: Int) -> Int {
if n == 1 || n == 2 {
return 1
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: 3), count: n + 1)
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1
dp[1][2] = 0
dp[2][1] = 0
dp[2][2] = 1
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in 3 ... n {
dp[i][1] = dp[i - 1][2]
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
}
return dp[n][1] + dp[n][2]
}
```
=== "JS"
```javascript title="climbing_stairs_constraint_dp.js"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
function climbingStairsConstraintDP(n) {
if (n === 1 || n === 2) {
return 1;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
const dp = Array.from(new Array(n + 1), () => new Array(3));
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (let i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
=== "TS"
```typescript title="climbing_stairs_constraint_dp.ts"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
function climbingStairsConstraintDP(n: number): number {
if (n === 1 || n === 2) {
return 1;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(3));
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (let i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_constraint_dp.dart"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(3, 0));
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_constraint_dp.rs"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
fn climbing_stairs_constraint_dp(n: usize) -> i32 {
if n == 1 || n == 2 {
return 1;
};
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
let mut dp = vec![vec![-1; 3]; n + 1];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in 3..=n {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
dp[n][1] + dp[n][2]
}
```
=== "C"
```c title="climbing_stairs_constraint_dp.c"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i] = calloc(3, sizeof(int));
}
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
int res = dp[n][1] + dp[n][2];
// 釋放記憶體
for (int i = 0; i <= n; i++) {
free(dp[i]);
}
free(dp);
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="climbing_stairs_constraint_dp.kt"
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
fun climbingStairsConstraintDP(n: Int): Int {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
val dp = Array(n + 1) { IntArray(3) }
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1
dp[1][2] = 0
dp[2][1] = 0
dp[2][2] = 1
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (i in 3..n) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2]
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
}
return dp[n][1] + dp[n][2]
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_constraint_dp.rb"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_constraint_dp}
```
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_constraint_dp.zig"
// 帶約束爬樓梯：動態規劃
fn climbingStairsConstraintDP(comptime n: usize) i32 {
if (n == 1 or n == 2) {
return 1;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
var dp = [_][3]i32{ [_]i32{ -1, -1, -1 } } ** (n + 1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (3..n + 1) |i| {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%A6%E7%BA%A6%E6%9D%9F%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D,%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201,%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%A6%E7%BA%A6%E6%9D%9F%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D,%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201,%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
在上面的案例中，由於僅需多考慮前面一個狀態，因此我們仍然可以透過擴展狀態定義，使得問題重新滿足無後效性。然而，某些問題具有非常嚴重的“有後效性”。
!!! question "爬樓梯與障礙生成"
給定一個共有 $n$ 階的樓梯，你每步可以上 $1$ 階或者 $2$ 階。**規定當爬到第 $i$ 階時，系統自動會在第 $2i$ 階上放上障礙物，之後所有輪都不允許跳到第 $2i$ 階上**。例如，前兩輪分別跳到了第 $2$、$3$ 階上，則之後就不能跳到第 $4$、$6$ 階上。請問有多少種方案可以爬到樓頂？
在這個問題中，下次跳躍依賴過去所有的狀態，因為每一次跳躍都會在更高的階梯上設定障礙，並影響未來的跳躍。對於這類問題，動態規劃往往難以解決。
實際上，許多複雜的組合最佳化問題（例如旅行商問題）不滿足無後效性。對於這類問題，我們通常會選擇使用其他方法，例如啟發式搜尋、遺傳演算法、強化學習等，從而在有限時間內得到可用的區域性最優解。

1561
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md Normal file
View File

File diff suppressed because it is too large Load Diff

996
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md Normal file
View File

@ -0,0 +1,996 @@
---
comments: true
---
# 14.6 &nbsp; 編輯距離問題
編輯距離，也稱 Levenshtein 距離，指兩個字串之間互相轉換的最少修改次數，通常用於在資訊檢索和自然語言處理中度量兩個序列的相似度。
!!! question
輸入兩個字串 $s$ 和 $t$ ，返回將 $s$ 轉換為 $t$ 所需的最少編輯步數。
你可以在一個字串中進行三種編輯操作：插入一個字元、刪除一個字元、將字元替換為任意一個字元。
如圖 14-27 所示，將 `kitten` 轉換為 `sitting` 需要編輯 3 步，包括 2 次替換操作與 1 次新增操作；將 `hello` 轉換為 `algo` 需要 3 步，包括 2 次替換操作和 1 次刪除操作。
![編輯距離的示例資料](edit_distance_problem.assets/edit_distance_example.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 14-27 &nbsp; 編輯距離的示例資料 </p>
**編輯距離問題可以很自然地用決策樹模型來解釋**。字串對應樹節點，一輪決策（一次編輯操作）對應樹的一條邊。
如圖 14-28 所示，在不限制操作的情況下，每個節點都可以派生出許多條邊，每條邊對應一種操作，這意味著從 `hello` 轉換到 `algo` 有許多種可能的路徑。
從決策樹的角度看，本題的目標是求解節點 `hello` 和節點 `algo` 之間的最短路徑。
![基於決策樹模型表示編輯距離問題](edit_distance_problem.assets/edit_distance_decision_tree.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 14-28 &nbsp; 基於決策樹模型表示編輯距離問題 </p>
### 1. &nbsp; 動態規劃思路
**第一步：思考每輪的決策，定義狀態，從而得到 $dp$ 表**
每一輪的決策是對字串 $s$ 進行一次編輯操作。
我們希望在編輯操作的過程中，問題的規模逐漸縮小，這樣才能構建子問題。設字串 $s$ 和 $t$ 的長度分別為 $n$ 和 $m$ ，我們先考慮兩字串尾部的字元 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 。
- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同，我們可以跳過它們，直接考慮 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ 。
- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同，我們需要對 $s$ 進行一次編輯（插入、刪除、替換），使得兩字串尾部的字元相同，從而可以跳過它們，考慮規模更小的問題。
也就是說，我們在字串 $s$ 中進行的每一輪決策（編輯操作），都會使得 $s$ 和 $t$ 中剩餘的待匹配字元發生變化。因此，狀態為當前在 $s$ 和 $t$ 中考慮的第 $i$ 和第 $j$ 個字元，記為 $[i, j]$ 。
狀態 $[i, j]$ 對應的子問題：**將 $s$ 的前 $i$ 個字元更改為 $t$ 的前 $j$ 個字元所需的最少編輯步數**。
至此，得到一個尺寸為 $(i+1) \times (j+1)$ 的二維 $dp$ 表。
**第二步：找出最優子結構，進而推導出狀態轉移方程**
考慮子問題 $dp[i, j]$ ，其對應的兩個字串的尾部字元為 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ ，可根據不同編輯操作分為圖 14-29 所示的三種情況。
1. 在 $s[i-1]$ 之後新增 $t[j-1]$ ，則剩餘子問題 $dp[i, j-1]$ 。
2. 刪除 $s[i-1]$ ，則剩餘子問題 $dp[i-1, j]$ 。
3. 將 $s[i-1]$ 替換為 $t[j-1]$ ，則剩餘子問題 $dp[i-1, j-1]$ 。
![編輯距離的狀態轉移](edit_distance_problem.assets/edit_distance_state_transfer.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 14-29 &nbsp; 編輯距離的狀態轉移 </p>
根據以上分析，可得最優子結構：$dp[i, j]$ 的最少編輯步數等於 $dp[i, j-1]$、$dp[i-1, j]$、$dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少編輯步數，再加上本次的編輯步數 $1$ 。對應的狀態轉移方程為：
$$
dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1
$$
請注意，**當 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ 相同時，無須編輯當前字元**，這種情況下的狀態轉移方程為：
$$
dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
$$
**第三步：確定邊界條件和狀態轉移順序**
當兩字串都為空時，編輯步數為 $0$ ，即 $dp[0, 0] = 0$ 。當 $s$ 為空但 $t$ 不為空時，最少編輯步數等於 $t$ 的長度，即首行 $dp[0, j] = j$ 。當 $s$ 不為空但 $t$ 為空時，最少編輯步數等於 $s$ 的長度，即首列 $dp[i, 0] = i$ 。
觀察狀態轉移方程，解 $dp[i, j]$ 依賴左方、上方、左上方的解，因此透過兩層迴圈正序走訪整個 $dp$ 表即可。
### 2. &nbsp; 程式碼實現
=== "Python"
```python title="edit_distance.py"
def edit_distance_dp(s: str, t: str) -> int:
"""編輯距離：動態規劃"""
n, m = len(s), len(t)
dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
# 狀態轉移：首行首列
for i in range(1, n + 1):
dp[i][0] = i
for j in range(1, m + 1):
dp[0][j] = j
# 狀態轉移：其餘行和列
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, m + 1):
if s[i - 1] == t[j - 1]:
# 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
else:
# 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
return dp[n][m]
```
=== "C++"
```cpp title="edit_distance.cpp"
/* 編輯距離：動態規劃 */
int editDistanceDP(string s, string t) {
int n = s.length(), m = t.length();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
// 狀態轉移：首行首列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[n][m];
}
```
=== "Java"
```java title="edit_distance.java"
/* 編輯距離：動態規劃 */
int editDistanceDP(String s, String t) {
int n = s.length(), m = t.length();
int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
// 狀態轉移：首行首列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[n][m];
}
```
=== "C#"
```csharp title="edit_distance.cs"
/* 編輯距離：動態規劃 */
int EditDistanceDP(string s, string t) {
int n = s.Length, m = t.Length;
int[,] dp = new int[n + 1, m + 1];
// 狀態轉移：首行首列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i, 0] = i;
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[0, j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i, j] = dp[i - 1, j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i, j] = Math.Min(Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]), dp[i - 1, j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[n, m];
}
```
=== "Go"
```go title="edit_distance.go"
/* 編輯距離：動態規劃 */
func editDistanceDP(s string, t string) int {
n := len(s)
m := len(t)
dp := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i] = make([]int, m+1)
}
// 狀態轉移：首行首列
for i := 1; i <= n; i++ {
dp[i][0] = i
}
for j := 1; j <= m; j++ {
dp[0][j] = j
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for i := 1; i <= n; i++ {
for j := 1; j <= m; j++ {
if s[i-1] == t[j-1] {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = MinInt(MinInt(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), dp[i-1][j-1]) + 1
}
}
}
return dp[n][m]
}
```
=== "Swift"
```swift title="edit_distance.swift"
/* 編輯距離：動態規劃 */
func editDistanceDP(s: String, t: String) -> Int {
let n = s.utf8CString.count
let m = t.utf8CString.count
var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: m + 1), count: n + 1)
// 狀態轉移：首行首列
for i in 1 ... n {
dp[i][0] = i
}
for j in 1 ... m {
dp[0][j] = j
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for i in 1 ... n {
for j in 1 ... m {
if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1
}
}
}
return dp[n][m]
}
```
=== "JS"
```javascript title="edit_distance.js"
/* 編輯距離：動態規劃 */
function editDistanceDP(s, t) {
const n = s.length,
m = t.length;
const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(m + 1).fill(0));
// 狀態轉移：首行首列
for (let i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (let j = 1; j <= m; j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= m; j++) {
if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] =
Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[n][m];
}
```
=== "TS"
```typescript title="edit_distance.ts"
/* 編輯距離：動態規劃 */
function editDistanceDP(s: string, t: string): number {
const n = s.length,
m = t.length;
const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () =>
Array.from({ length: m + 1 }, () => 0)
);
// 狀態轉移：首行首列
for (let i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (let j = 1; j <= m; j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= m; j++) {
if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] =
Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[n][m];
}
```
=== "Dart"
```dart title="edit_distance.dart"
/* 編輯距離：動態規劃 */
int editDistanceDP(String s, String t) {
int n = s.length, m = t.length;
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (_) => List.filled(m + 1, 0));
// 狀態轉移：首行首列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[n][m];
}
```
=== "Rust"
```rust title="edit_distance.rs"
/* 編輯距離：動態規劃 */
fn edit_distance_dp(s: &str, t: &str) -> i32 {
let (n, m) = (s.len(), t.len());
let mut dp = vec![vec![0; m + 1]; n + 1];
// 狀態轉移：首行首列
for i in 1..=n {
dp[i][0] = i as i32;
}
for j in 1..m {
dp[0][j] = j as i32;
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for i in 1..=n {
for j in 1..=m {
if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] =
std::cmp::min(std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
dp[n][m]
}
```
=== "C"
```c title="edit_distance.c"
/* 編輯距離：動態規劃 */
int editDistanceDP(char *s, char *t, int n, int m) {
int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i] = calloc(m + 1, sizeof(int));
}
// 狀態轉移：首行首列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = myMin(myMin(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
int res = dp[n][m];
// 釋放記憶體
for (int i = 0; i <= n; i++) {
free(dp[i]);
}
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="edit_distance.kt"
/* 編輯距離：動態規劃 */
fun editDistanceDP(s: String, t: String): Int {
val n = s.length
val m = t.length
val dp = Array(n + 1) { IntArray(m + 1) }
// 狀態轉移：首行首列
for (i in 1..n) {
dp[i][0] = i
}
for (j in 1..m) {
dp[0][j] = j
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (i in 1..n) {
for (j in 1..m) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] =
(min(
min(dp[i][j - 1].toDouble(), dp[i - 1][j].toDouble()),
dp[i - 1][j - 1].toDouble()
) + 1).toInt()
}
}
}
return dp[n][m]
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="edit_distance.rb"
[class]{}-[func]{edit_distance_dp}
```
=== "Zig"
```zig title="edit_distance.zig"
// 編輯距離：動態規劃
fn editDistanceDP(comptime s: []const u8, comptime t: []const u8) i32 {
comptime var n = s.len;
comptime var m = t.len;
var dp = [_][m + 1]i32{[_]i32{0} ** (m + 1)} ** (n + 1);
// 狀態轉移：首行首列
for (1..n + 1) |i| {
dp[i][0] = @intCast(i);
}
for (1..m + 1) |j| {
dp[0][j] = @intCast(j);
}
// 狀態轉移：其餘行和列
for (1..n + 1) |i| {
for (1..m + 1) |j| {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = @min(@min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[n][m];
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp%28s%3A%20str,%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28m%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20i%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%A0%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E8%BF%99%E4%B8%89%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp%28s,%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%86%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E4%B8%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%BC%96%E8%BE%91%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp%28s%3A%20str,%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28m%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20i%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%A0%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E8%BF%99%E4%B8%89%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp%28s,%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%86%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E4%B8%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%BC%96%E8%BE%91%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
如圖 14-30 所示，編輯距離問題的狀態轉移過程與背包問題非常類似，都可以看作填寫一個二維網格的過程。
=== "<1>"
![編輯距離的動態規劃過程](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![edit_distance_dp_step2](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![edit_distance_dp_step3](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![edit_distance_dp_step4](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step4.png){ class="animation-figure" }
=== "<5>"
![edit_distance_dp_step5](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step5.png){ class="animation-figure" }
=== "<6>"
![edit_distance_dp_step6](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step6.png){ class="animation-figure" }
=== "<7>"
![edit_distance_dp_step7](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step7.png){ class="animation-figure" }
=== "<8>"
![edit_distance_dp_step8](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step8.png){ class="animation-figure" }
=== "<9>"
![edit_distance_dp_step9](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step9.png){ class="animation-figure" }
=== "<10>"
![edit_distance_dp_step10](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step10.png){ class="animation-figure" }
=== "<11>"
![edit_distance_dp_step11](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step11.png){ class="animation-figure" }
=== "<12>"
![edit_distance_dp_step12](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step12.png){ class="animation-figure" }
=== "<13>"
![edit_distance_dp_step13](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step13.png){ class="animation-figure" }
=== "<14>"
![edit_distance_dp_step14](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step14.png){ class="animation-figure" }
=== "<15>"
![edit_distance_dp_step15](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step15.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 14-30 &nbsp; 編輯距離的動態規劃過程 </p>
### 3. &nbsp; 空間最佳化
由於 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$、左方 $dp[i, j-1]$、左上方 $dp[i-1, j-1]$ 轉移而來的，而正序走訪會丟失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ，倒序走訪無法提前構建 $dp[i, j-1]$ ，因此兩種走訪順序都不可取。
為此，我們可以使用一個變數 `leftup` 來暫存左上方的解 $dp[i-1, j-1]$ ，從而只需考慮左方和上方的解。此時的情況與完全背包問題相同，可使用正序走訪。程式碼如下所示：
=== "Python"
```python title="edit_distance.py"
def edit_distance_dp_comp(s: str, t: str) -> int:
"""編輯距離：空間最佳化後的動態規劃"""
n, m = len(s), len(t)
dp = [0] * (m + 1)
# 狀態轉移：首行
for j in range(1, m + 1):
dp[j] = j
# 狀態轉移：其餘行
for i in range(1, n + 1):
# 狀態轉移：首列
leftup = dp[0] # 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] += 1
# 狀態轉移：其餘列
for j in range(1, m + 1):
temp = dp[j]
if s[i - 1] == t[j - 1]:
# 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup
else:
# 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1
leftup = temp # 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
return dp[m]
```
=== "C++"
```cpp title="edit_distance.cpp"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int editDistanceDPComp(string s, string t) {
int n = s.length(), m = t.length();
vector<int> dp(m + 1, 0);
// 狀態轉移：首行
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 狀態轉移：首列
int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i;
// 狀態轉移：其餘列
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int temp = dp[j];
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m];
}
```
=== "Java"
```java title="edit_distance.java"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int editDistanceDPComp(String s, String t) {
int n = s.length(), m = t.length();
int[] dp = new int[m + 1];
// 狀態轉移：首行
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 狀態轉移：首列
int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i;
// 狀態轉移：其餘列
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int temp = dp[j];
if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m];
}
```
=== "C#"
```csharp title="edit_distance.cs"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int EditDistanceDPComp(string s, string t) {
int n = s.Length, m = t.Length;
int[] dp = new int[m + 1];
// 狀態轉移：首行
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 狀態轉移：首列
int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i;
// 狀態轉移：其餘列
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int temp = dp[j];
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = Math.Min(Math.Min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m];
}
```
=== "Go"
```go title="edit_distance.go"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
func editDistanceDPComp(s string, t string) int {
n := len(s)
m := len(t)
dp := make([]int, m+1)
// 狀態轉移：首行
for j := 1; j <= m; j++ {
dp[j] = j
}
// 狀態轉移：其餘行
for i := 1; i <= n; i++ {
// 狀態轉移：首列
leftUp := dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i
// 狀態轉移：其餘列
for j := 1; j <= m; j++ {
temp := dp[j]
if s[i-1] == t[j-1] {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftUp
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = MinInt(MinInt(dp[j-1], dp[j]), leftUp) + 1
}
leftUp = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m]
}
```
=== "Swift"
```swift title="edit_distance.swift"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
func editDistanceDPComp(s: String, t: String) -> Int {
let n = s.utf8CString.count
let m = t.utf8CString.count
var dp = Array(repeating: 0, count: m + 1)
// 狀態轉移：首行
for j in 1 ... m {
dp[j] = j
}
// 狀態轉移：其餘行
for i in 1 ... n {
// 狀態轉移：首列
var leftup = dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i
// 狀態轉移：其餘列
for j in 1 ... m {
let temp = dp[j]
if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1
}
leftup = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m]
}
```
=== "JS"
```javascript title="edit_distance.js"
/* 編輯距離：狀態壓縮後的動態規劃 */
function editDistanceDPComp(s, t) {
const n = s.length,
m = t.length;
const dp = new Array(m + 1).fill(0);
// 狀態轉移：首行
for (let j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行
for (let i = 1; i <= n; i++) {
// 狀態轉移：首列
let leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i;
// 狀態轉移：其餘列
for (let j = 1; j <= m; j++) {
const temp = dp[j];
if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m];
}
```
=== "TS"
```typescript title="edit_distance.ts"
/* 編輯距離：狀態壓縮後的動態規劃 */
function editDistanceDPComp(s: string, t: string): number {
const n = s.length,
m = t.length;
const dp = new Array(m + 1).fill(0);
// 狀態轉移：首行
for (let j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行
for (let i = 1; i <= n; i++) {
// 狀態轉移：首列
let leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i;
// 狀態轉移：其餘列
for (let j = 1; j <= m; j++) {
const temp = dp[j];
if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m];
}
```
=== "Dart"
```dart title="edit_distance.dart"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int editDistanceDPComp(String s, String t) {
int n = s.length, m = t.length;
List<int> dp = List.filled(m + 1, 0);
// 狀態轉移：首行
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 狀態轉移：首列
int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i;
// 狀態轉移：其餘列
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int temp = dp[j];
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m];
}
```
=== "Rust"
```rust title="edit_distance.rs"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
fn edit_distance_dp_comp(s: &str, t: &str) -> i32 {
let (n, m) = (s.len(), t.len());
let mut dp = vec![0; m + 1];
// 狀態轉移：首行
for j in 1..m {
dp[j] = j as i32;
}
// 狀態轉移：其餘行
for i in 1..=n {
// 狀態轉移：首列
let mut leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i as i32;
// 狀態轉移：其餘列
for j in 1..=m {
let temp = dp[j];
if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = std::cmp::min(std::cmp::min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
dp[m]
}
```
=== "C"
```c title="edit_distance.c"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int editDistanceDPComp(char *s, char *t, int n, int m) {
int *dp = calloc(m + 1, sizeof(int));
// 狀態轉移：首行
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] = j;
}
// 狀態轉移：其餘行
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 狀態轉移：首列
int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i;
// 狀態轉移：其餘列
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int temp = dp[j];
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = myMin(myMin(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
int res = dp[m];
// 釋放記憶體
free(dp);
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="edit_distance.kt"
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
fun editDistanceDPComp(s: String, t: String): Int {
val n = s.length
val m = t.length
val dp = IntArray(m + 1)
// 狀態轉移：首行
for (j in 1..m) {
dp[j] = j
}
// 狀態轉移：其餘行
for (i in 1..n) {
// 狀態轉移：首列
var leftup = dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i
// 狀態轉移：其餘列
for (j in 1..m) {
val temp = dp[j]
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = (min(min(dp[j - 1].toDouble(), dp[j].toDouble()), leftup.toDouble()) + 1).toInt()
}
leftup = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m]
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="edit_distance.rb"
[class]{}-[func]{edit_distance_dp_comp}
```
=== "Zig"
```zig title="edit_distance.zig"
// 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃
fn editDistanceDPComp(comptime s: []const u8, comptime t: []const u8) i32 {
comptime var n = s.len;
comptime var m = t.len;
var dp = [_]i32{0} ** (m + 1);
// 狀態轉移：首行
for (1..m + 1) |j| {
dp[j] = @intCast(j);
}
// 狀態轉移：其餘行
for (1..n + 1) |i| {
// 狀態轉移：首列
var leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = @intCast(i);
// 狀態轉移：其餘列
for (1..m + 1) |j| {
var temp = dp[j];
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = @min(@min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m];
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp_comp%28s%3A%20str,%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28m%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20dp%5B0%5D%20%20%23%20%E6%9A%82%E5%AD%98%20dp%5Bi-1,%20j-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temp%20%3D%20dp%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20leftup%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%A0%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E8%BF%99%E4%B8%89%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bj%5D,%20leftup%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20temp%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E4%B8%BA%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E7%9A%84%20dp%5Bi-1,%20j-1%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp_comp%28s,%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%86%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E4%B8%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%BC%96%E8%BE%91%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp_comp%28s%3A%20str,%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28m%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20dp%5B0%5D%20%20%23%20%E6%9A%82%E5%AD%98%20dp%5Bi-1,%20j-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temp%20%3D%20dp%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20leftup%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%A0%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E8%BF%99%E4%B8%89%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bj%5D,%20leftup%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20temp%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E4%B8%BA%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E7%9A%84%20dp%5Bi-1,%20j-1%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp_comp%28s,%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%86%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E4%B8%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%BC%96%E8%BE%91%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

24
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/index.md Normal file
View File

@ -0,0 +1,24 @@
---
comments: true
icon: material/table-pivot
---
# 第 14 章 &nbsp; 動態規劃
![動態規劃](../assets/covers/chapter_dynamic_programming.jpg){ class="cover-image" }
!!! abstract
小溪匯入河流，江河匯入大海。
動態規劃將小問題的解彙集成大問題的答案，一步步引領我們走向解決問題的彼岸。
## Chapter Contents
- [14.1 &nbsp; 初探動態規劃](https://www.hello-algo.com/en/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/)
- [14.2 &nbsp; DP 問題特性](https://www.hello-algo.com/en/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/)
- [14.3 &nbsp; DP 解題思路](https://www.hello-algo.com/en/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/)
- [14.4 &nbsp; 0-1 背包問題](https://www.hello-algo.com/en/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/)
- [14.5 &nbsp; 完全背包問題](https://www.hello-algo.com/en/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/)
- [14.6 &nbsp; 編輯距離問題](https://www.hello-algo.com/en/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/)
- [14.7 &nbsp; 小結](https://www.hello-algo.com/en/chapter_dynamic_programming/summary/)

1639
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md Normal file
View File

File diff suppressed because it is too large Load Diff

1488
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md Normal file
View File

File diff suppressed because it is too large Load Diff

27
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/summary.md Normal file
View File

@ -0,0 +1,27 @@
---
comments: true
---
# 14.7 &nbsp; 小結
- 動態規劃對問題進行分解，並透過儲存子問題的解來規避重複計算，提高計算效率。
- 不考慮時間的前提下，所有動態規劃問題都可以用回溯（暴力搜尋）進行求解，但遞迴樹中存在大量的重疊子問題，效率極低。透過引入記憶化串列，可以儲存所有計算過的子問題的解，從而保證重疊子問題只被計算一次。
- 記憶化搜尋是一種從頂至底的遞迴式解法，而與之對應的動態規劃是一種從底至頂的遞推式解法，其如同“填寫表格”一樣。由於當前狀態僅依賴某些區域性狀態，因此我們可以消除 $dp$ 表的一個維度，從而降低空間複雜度。
- 子問題分解是一種通用的演算法思路，在分治、動態規劃、回溯中具有不同的性質。
- 動態規劃問題有三大特性：重疊子問題、最優子結構、無後效性。
- 如果原問題的最優解可以從子問題的最優解構建得來，則它就具有最優子結構。
- 無後效性指對於一個狀態，其未來發展只與該狀態有關，而與過去經歷的所有狀態無關。許多組合最佳化問題不具有無後效性，無法使用動態規劃快速求解。
**背包問題**
- 背包問題是最典型的動態規劃問題之一，具有 0-1 背包、完全背包、多重背包等變種。
- 0-1 背包的狀態定義為前 $i$ 個物品在剩餘容量為 $c$ 的背包中的最大價值。根據不放入背包和放入背包兩種決策，可得到最優子結構，並構建出狀態轉移方程。在空間最佳化中，由於每個狀態依賴正上方和左上方的狀態，因此需要倒序走訪串列，避免左上方狀態被覆蓋。
- 完全背包問題的每種物品的選取數量無限制，因此選擇放入物品的狀態轉移與 0-1 背包問題不同。由於狀態依賴正上方和正左方的狀態，因此在空間最佳化中應當正序走訪。
- 零錢兌換問題是完全背包問題的一個變種。它從求“最大”價值變為求“最小”硬幣數量，因此狀態轉移方程中的 $\max()$ 應改為 $\min()$ 。從追求“不超過”背包容量到追求“恰好”湊出目標金額，因此使用 $amt + 1$ 來表示“無法湊出目標金額”的無效解。
- 零錢兌換問題 II 從求“最少硬幣數量”改為求“硬幣組合數量”，狀態轉移方程相應地從 $\min()$ 改為求和運算子。
**編輯距離問題**
- 編輯距離（Levenshtein 距離）用於衡量兩個字串之間的相似度，其定義為從一個字串到另一個字串的最少編輯步數，編輯操作包括新增、刪除、替換。
- 編輯距離問題的狀態定義為將 $s$ 的前 $i$ 個字元更改為 $t$ 的前 $j$ 個字元所需的最少編輯步數。當 $s[i] \ne t[j]$ 時，具有三種決策：新增、刪除、替換，它們都有相應的剩餘子問題。據此便可以找出最優子結構與構建狀態轉移方程。而當 $s[i] = t[j]$ 時，無須編輯當前字元。
- 在編輯距離中，狀態依賴其正上方、正左方、左上方的狀態，因此空間最佳化後正序或倒序走訪都無法正確地進行狀態轉移。為此，我們利用一個變數暫存左上方狀態，從而轉化到與完全背包問題等價的情況，可以在空間最佳化後進行正序走訪。

2380
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md Normal file
View File

File diff suppressed because it is too large Load Diff