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Refactor the articles related to searching algorithm. Add the chapter of binary search. Add the section of searching algorithm revisited. (#464)
This commit is contained in:
Yudong Jin
@ -961,3 +961,11 @@ $$
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例如“归并排序”算法，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
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再例如“数字转化为字符串”，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。
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## 权衡时间与空间
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理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
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**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。
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选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
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@ -1,156 +0,0 @@
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# 权衡时间与空间
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理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
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**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，则称之为「以时间换空间」。
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选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
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## 示例题目 *
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以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例。
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!!! question "两数之和"
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给定一个整数数组 `nums` 和一个整数目标值 `target` ，请你在该数组中找出“和”为目标值 `target` 的那两个整数，并返回它们的数组下标。
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你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。
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你可以按任意顺序返回答案。
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「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别对应“空间最优”和“时间最优”的两种解法。遵循时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。
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### 方法一：暴力枚举
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考虑直接遍历所有可能的组合。通过开启一个两层循环，判断两个整数的和是否为 `target` ，若是，则返回它们的索引（即下标）。
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=== "Java"
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```java title="leetcode_two_sum.java"
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[class]{leetcode_two_sum}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "Python"
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```python title="leetcode_two_sum.py"
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[class]{}-[func]{two_sum_brute_force}
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```
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=== "Go"
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```go title="leetcode_two_sum.go"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="leetcode_two_sum.js"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "C"
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```c title="leetcode_two_sum.c"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
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[class]{leetcode_two_sum}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="leetcode_two_sum.swift"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="leetcode_two_sum.zig"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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该方法的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ ，**属于以时间换空间**。此方法时间复杂度太高，在大数据量下非常耗时。
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### 方法二：辅助哈希表
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考虑借助一个哈希表，key-value 分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组中的每个元素 num，并执行：
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1. 判断数字 `target - num` 是否在哈希表中，若是则直接返回该两个元素的索引；
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2. 将元素 `num` 和其索引添加进哈希表；
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=== "Java"
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```java title="leetcode_two_sum.java"
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[class]{leetcode_two_sum}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "Python"
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```python title="leetcode_two_sum.py"
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[class]{}-[func]{two_sum_hash_table}
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```
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=== "Go"
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```go title="leetcode_two_sum.go"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="leetcode_two_sum.js"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "C"
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```c title="leetcode_two_sum.c"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
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[class]{leetcode_two_sum}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="leetcode_two_sum.swift"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="leetcode_two_sum.zig"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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该方法的时间复杂度为 $O(N)$ ，空间复杂度为 $O(N)$ ，**体现了以空间换时间**。尽管此方法引入了额外的空间使用，但在时间和空间的整体效率更为均衡，因此它是本题的最优解法。
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@ -1,12 +1,12 @@
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# 小结
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### 算法效率评估
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**算法效率评估**
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- 时间效率和空间效率是评价算法性能的两个关键维度。
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- 我们可以通过实际测试来评估算法效率，但难以消除测试环境的影响，且会耗费大量计算资源。
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- 复杂度分析可以克服实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且能够揭示算法在不同数据规模下的效率。
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### 时间复杂度
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**时间复杂度**
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- 时间复杂度用于衡量算法运行时间随数据量增长的趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣。
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- 最差时间复杂度使用大 $O$ 符号表示，即函数渐近上界，反映当 $n$ 趋向正无穷时，$T(n)$ 的增长级别。
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@ -15,7 +15,7 @@
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- 某些算法的时间复杂度非固定，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差、最佳、平均时间复杂度，最佳时间复杂度几乎不用，因为输入数据一般需要满足严格条件才能达到最佳情况。
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- 平均时间复杂度反映算法在随机数据输入下的运行效率，最接近实际应用中的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据分布以及综合后的数学期望。
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### 空间复杂度
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**空间复杂度**
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- 类似于时间复杂度，空间复杂度用于衡量算法占用空间随数据量增长的趋势。
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- 算法运行过程中的相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间通常仅在递归函数中影响空间复杂度。
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