build

docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md

@@ -281,6 +281,26 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="min_cost_climbing_stairs_dp.kt"
+    /* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
+    fun minCostClimbingStairsDP(cost: IntArray): Int {
+        val n = cost.size - 1
+        if (n == 1 || n == 2) return cost[n]
+        // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
+        val dp = IntArray(n + 1)
+        // 初始状态：预设最小子问题的解
+        dp[1] = cost[1]
+        dp[2] = cost[2]
+        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
+        for (i in 3..n) {
+            dp[i] = (min(dp[i - 1].toDouble(), dp[i - 2].toDouble()) + cost[i]).toInt()
+        }
+        return dp[n]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
@@ -522,6 +542,24 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="min_cost_climbing_stairs_dp.kt"
+    /* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
+    fun minCostClimbingStairsDPComp(cost: IntArray): Int {
+        val n = cost.size - 1
+        if (n == 1 || n == 2) return cost[n]
+        var a = cost[1]
+        var b = cost[2]
+        for (i in 3..n) {
+            val tmp = b
+            b = (min(a.toDouble(), tmp.toDouble()) + cost[i]).toInt()
+            a = tmp
+        }
+        return b
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
@@ -858,6 +896,30 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="climbing_stairs_constraint_dp.kt"
+    /* 带约束爬楼梯：动态规划 */
+    fun climbingStairsConstraintDP(n: Int): Int {
+        if (n == 1 || n == 2) {
+            return 1
+        }
+        // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
+        val dp = Array(n + 1) { IntArray(3) }
+        // 初始状态：预设最小子问题的解
+        dp[1][1] = 1
+        dp[1][2] = 0
+        dp[2][1] = 0
+        dp[2][2] = 1
+        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
+        for (i in 3..n) {
+            dp[i][1] = dp[i - 1][2]
+            dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
+        }
+        return dp[n][1] + dp[n][2]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_constraint_dp.zig"

docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

@@ -345,6 +345,31 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="min_path_sum.kt"
+    /* 最小路径和：暴力搜索 */
+    fun minPathSumDFS(
+        grid: Array<Array<Int>>,
+        i: Int,
+        j: Int
+    ): Int {
+        // 若为左上角单元格，则终止搜索
+        if (i == 0 && j == 0) {
+            return grid[0][0]
+        }
+        // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
+        if (i < 0 || j < 0) {
+            return Int.MAX_VALUE
+        }
+        // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
+        val up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j)
+        val left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1)
+        // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
+        return (min(left.toDouble(), up.toDouble()) + grid[i][j]).toInt()
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_path_sum.zig"
@@ -675,6 +700,37 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="min_path_sum.kt"
+    /* 最小路径和：记忆化搜索 */
+    fun minPathSumDFSMem(
+        grid: Array<Array<Int>>,
+        mem: Array<Array<Int>>,
+        i: Int,
+        j: Int
+    ): Int {
+        // 若为左上角单元格，则终止搜索
+        if (i == 0 && j == 0) {
+            return grid[0][0]
+        }
+        // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
+        if (i < 0 || j < 0) {
+            return Int.MAX_VALUE
+        }
+        // 若已有记录，则直接返回
+        if (mem[i][j] != -1) {
+            return mem[i][j]
+        }
+        // 左边和上边单元格的最小路径代价
+        val up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j)
+        val left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1)
+        // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
+        mem[i][j] = (min(left.toDouble(), up.toDouble()) + grid[i][j]).toInt()
+        return mem[i][j]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_path_sum.zig"
@@ -1026,6 +1082,35 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="min_path_sum.kt"
+    /* 最小路径和：动态规划 */
+    fun minPathSumDP(grid: Array<Array<Int>>): Int {
+        val n = grid.size
+        val m = grid[0].size
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = Array(n) { IntArray(m) }
+        dp[0][0] = grid[0][0]
+        // 状态转移：首行
+        for (j in 1..<m) {
+            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
+        }
+        // 状态转移：首列
+        for (i in 1..<n) {
+            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
+        }
+        // 状态转移：其余行和列
+        for (i in 1..<n) {
+            for (j in 1..<m) {
+                dp[i][j] =
+                    (min(dp[i][j - 1].toDouble(), dp[i - 1][j].toDouble()) + grid[i][j]).toInt()
+            }
+        }
+        return dp[n - 1][m - 1]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_path_sum.zig"
@@ -1393,6 +1478,33 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="min_path_sum.kt"
+    /* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
+    fun minPathSumDPComp(grid: Array<Array<Int>>): Int {
+        val n = grid.size
+        val m = grid[0].size
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = IntArray(m)
+        // 状态转移：首行
+        dp[0] = grid[0][0]
+        for (j in 1..<m) {
+            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
+        }
+        // 状态转移：其余行
+        for (i in 1..<n) {
+            // 状态转移：首列
+            dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
+            // 状态转移：其余列
+            for (j in 1..<m) {
+                dp[j] = (min(dp[j - 1].toDouble(), dp[j].toDouble()) + grid[i][j]).toInt()
+            }
+        }
+        return dp[m - 1]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_path_sum.zig"

docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md

@@ -420,6 +420,41 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="edit_distance.kt"
+    /* 编辑距离：动态规划 */
+    fun editDistanceDP(s: String, t: String): Int {
+        val n = s.length
+        val m = t.length
+        val dp = Array(n + 1) { IntArray(m + 1) }
+        // 状态转移：首行首列
+        for (i in 1..n) {
+            dp[i][0] = i
+        }
+        for (j in 1..m) {
+            dp[0][j] = j
+        }
+        // 状态转移：其余行和列
+        for (i in 1..n) {
+            for (j in 1..m) {
+                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
+                    // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
+                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
+                } else {
+                    // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
+                    dp[i][j] =
+                        (min(
+                            min(dp[i][j - 1].toDouble(), dp[i - 1][j].toDouble()),
+                            dp[i - 1][j - 1].toDouble()
+                        ) + 1).toInt()
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][m]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="edit_distance.zig"
@@ -875,6 +910,40 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="edit_distance.kt"
+    /* 编辑距离：空间优化后的动态规划 */
+    fun editDistanceDPComp(s: String, t: String): Int {
+        val n = s.length
+        val m = t.length
+        val dp = IntArray(m + 1)
+        // 状态转移：首行
+        for (j in 1..m) {
+            dp[j] = j
+        }
+        // 状态转移：其余行
+        for (i in 1..n) {
+            // 状态转移：首列
+            var leftup = dp[0] // 暂存 dp[i-1, j-1]
+            dp[0] = i
+            // 状态转移：其余列
+            for (j in 1..m) {
+                val temp = dp[j]
+                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
+                    // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
+                    dp[j] = leftup
+                } else {
+                    // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
+                    dp[j] = (min(min(dp[j - 1].toDouble(), dp[j].toDouble()), leftup.toDouble()) + 1).toInt()
+                }
+                leftup = temp // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
+            }
+        }
+        return dp[m]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="edit_distance.zig"

docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md

@@ -356,6 +356,39 @@ comments: true
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="climbing_stairs_backtrack.kt"
+    /* 回溯 */
+    fun backtrack(
+        choices: List<Int>,
+        state: Int,
+        n: Int,
+        res: MutableList<Int>
+    ) {
+        // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
+        if (state == n) res[0] = res[0] + 1
+        // 遍历所有选择
+        for (choice in choices) {
+            // 剪枝：不允许越过第 n 阶
+            if (state + choice > n) continue
+            // 尝试：做出选择，更新状态
+            backtrack(choices, state + choice, n, res)
+            // 回退
+        }
+    }
+
+    /* 爬楼梯：回溯 */
+    fun climbingStairsBacktrack(n: Int): Int {
+        val choices = mutableListOf(1, 2) // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
+        val state = 0 // 从第 0 阶开始爬
+        val res = ArrayList<Int>()
+        res.add(0) // 使用 res[0] 记录方案数量
+        backtrack(choices, state, n, res)
+        return res[0]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_backtrack.zig"
@@ -629,6 +662,24 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="climbing_stairs_dfs.kt"
+    /* 搜索 */
+    fun dfs(i: Int): Int {
+        // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+        if (i == 1 || i == 2) return i
+        // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+        val count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
+        return count
+    }
+
+    /* 爬楼梯：搜索 */
+    fun climbingStairsDFS(n: Int): Int {
+        return dfs(n)
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_dfs.zig"
@@ -967,6 +1018,31 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="climbing_stairs_dfs_mem.kt"
+    /* 记忆化搜索 */
+    fun dfs(i: Int, mem: IntArray): Int {
+        // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+        if (i == 1 || i == 2) return i
+        // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
+        if (mem[i] != -1) return mem[i]
+        // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+        val count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
+        // 记录 dp[i]
+        mem[i] = count
+        return count
+    }
+
+    /* 爬楼梯：记忆化搜索 */
+    fun climbingStairsDFSMem(n: Int): Int {
+        // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
+        val mem = IntArray(n + 1)
+        Arrays.fill(mem, -1)
+        return dfs(n, mem)
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_dfs_mem.zig"
@@ -1234,6 +1310,25 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="climbing_stairs_dp.kt"
+    /* 爬楼梯：动态规划 */
+    fun climbingStairsDP(n: Int): Int {
+        if (n == 1 || n == 2) return n
+        // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
+        val dp = IntArray(n + 1)
+        // 初始状态：预设最小子问题的解
+        dp[1] = 1
+        dp[2] = 2
+        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
+        for (i in 3..n) {
+            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
+        }
+        return dp[n]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
@@ -1462,6 +1557,23 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="climbing_stairs_dp.kt"
+    /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
+    fun climbingStairsDPComp(n: Int): Int {
+        if (n == 1 || n == 2) return n
+        var a = 1
+        var b = 2
+        for (i in 3..n) {
+            val tmp = b
+            b += a
+            a = tmp
+        }
+        return b
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_dp.zig"

docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -295,6 +295,32 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="knapsack.kt"
+    /* 0-1 背包：暴力搜索 */
+    fun knapsackDFS(
+        wgt: IntArray,
+        value: IntArray,
+        i: Int,
+        c: Int
+    ): Int {
+        // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 || c == 0) {
+            return 0
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
+        if (wgt[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFS(wgt, value, i - 1, c)
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        val no = knapsackDFS(wgt, value, i - 1, c)
+        val yes = knapsackDFS(wgt, value, i - 1, c - wgt[i - 1]) + value[i - 1]
+        // 返回两种方案中价值更大的那一个
+        return max(no.toDouble(), yes.toDouble()).toInt()
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="knapsack.zig"
@@ -633,6 +659,38 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="knapsack.kt"
+    /* 0-1 背包：记忆化搜索 */
+    fun knapsackDFSMem(
+        wgt: IntArray,
+        value: IntArray,
+        mem: Array<IntArray>,
+        i: Int,
+        c: Int
+    ): Int {
+        // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 || c == 0) {
+            return 0
+        }
+        // 若已有记录，则直接返回
+        if (mem[i][c] != -1) {
+            return mem[i][c]
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
+        if (wgt[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFSMem(wgt, value, mem, i - 1, c)
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        val no = knapsackDFSMem(wgt, value, mem, i - 1, c)
+        val yes = knapsackDFSMem(wgt, value, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + value[i - 1]
+        // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
+        mem[i][c] = max(no.toDouble(), yes.toDouble()).toInt()
+        return mem[i][c]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="knapsack.zig"
@@ -962,6 +1020,35 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="knapsack.kt"
+    /* 0-1 背包：动态规划 */
+    fun knapsackDP(
+        wgt: IntArray,
+        value: IntArray,
+        cap: Int
+    ): Int {
+        val n = wgt.size
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = Array(n + 1) { IntArray(cap + 1) }
+        // 状态转移
+        for (i in 1..n) {
+            for (c in 1..cap) {
+                if (wgt[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[i][c] = dp[i - 1][c]
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[i][c] = max(dp[i - 1][c].toDouble(), (dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + value[i - 1]).toDouble())
+                        .toInt()
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][cap]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="knapsack.zig"
@@ -1321,6 +1408,33 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="knapsack.kt"
+    /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
+    fun knapsackDPComp(
+        wgt: IntArray,
+        value: IntArray,
+        cap: Int
+    ): Int {
+        val n = wgt.size
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = IntArray(cap + 1)
+        // 状态转移
+        for (i in 1..n) {
+            // 倒序遍历
+            for (c in cap downTo 1) {
+                if (wgt[i - 1] <= c) {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[c] =
+                        max(dp[c].toDouble(), (dp[c - wgt[i - 1]] + value[i - 1]).toDouble()).toInt()
+                }
+            }
+        }
+        return dp[cap]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="knapsack.zig"

docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md

@@ -323,6 +323,35 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="unbounded_knapsack.kt"
+    /* 完全背包：动态规划 */
+    fun unboundedKnapsackDP(
+        wgt: IntArray,
+        value: IntArray,
+        cap: Int
+    ): Int {
+        val n = wgt.size
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = Array(n + 1) { IntArray(cap + 1) }
+        // 状态转移
+        for (i in 1..n) {
+            for (c in 1..cap) {
+                if (wgt[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[i][c] = dp[i - 1][c]
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[i][c] = max(dp[i - 1][c].toDouble(), (dp[i][c - wgt[i - 1]] + value[i - 1]).toDouble())
+                        .toInt()
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][cap]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="unbounded_knapsack.zig"
@@ -648,6 +677,35 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="unbounded_knapsack.kt"
+    /* 完全背包：空间优化后的动态规划 */
+    fun unboundedKnapsackDPComp(
+        wgt: IntArray,
+        value: IntArray,
+        cap: Int
+    ): Int {
+        val n = wgt.size
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = IntArray(cap + 1)
+        // 状态转移
+        for (i in 1..n) {
+            for (c in 1..cap) {
+                if (wgt[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[c] = dp[c]
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[c] =
+                        max(dp[c].toDouble(), (dp[c - wgt[i - 1]] + value[i - 1]).toDouble()).toInt()
+                }
+            }
+        }
+        return dp[cap]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="unbounded_knapsack.zig"
@@ -1063,6 +1121,36 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="coin_change.kt"
+    /* 零钱兑换：动态规划 */
+    fun coinChangeDP(coins: IntArray, amt: Int): Int {
+        val n = coins.size
+        val MAX = amt + 1
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = Array(n + 1) { IntArray(amt + 1) }
+        // 状态转移：首行首列
+        for (a in 1..amt) {
+            dp[0][a] = MAX
+        }
+        // 状态转移：其余行和列
+        for (i in 1..n) {
+            for (a in 1..amt) {
+                if (coins[i - 1] > a) {
+                    // 若超过目标金额，则不选硬币 i
+                    dp[i][a] = dp[i - 1][a]
+                } else {
+                    // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
+                    dp[i][a] = min(dp[i - 1][a].toDouble(), (dp[i][a - coins[i - 1]] + 1).toDouble())
+                        .toInt()
+                }
+            }
+        }
+        return if (dp[n][amt] != MAX) dp[n][amt] else -1
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="coin_change.zig"
@@ -1453,6 +1541,33 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="coin_change.kt"
+    /* 零钱兑换：空间优化后的动态规划 */
+    fun coinChangeDPComp(coins: IntArray, amt: Int): Int {
+        val n = coins.size
+        val MAX = amt + 1
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = IntArray(amt + 1)
+        Arrays.fill(dp, MAX)
+        dp[0] = 0
+        // 状态转移
+        for (i in 1..n) {
+            for (a in 1..amt) {
+                if (coins[i - 1] > a) {
+                    // 若超过目标金额，则不选硬币 i
+                    dp[a] = dp[a]
+                } else {
+                    // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
+                    dp[a] = min(dp[a].toDouble(), (dp[a - coins[i - 1]] + 1).toDouble()).toInt()
+                }
+            }
+        }
+        return if (dp[amt] != MAX) dp[amt] else -1
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="coin_change.zig"
@@ -1832,6 +1947,34 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="coin_change_ii.kt"
+    /* 零钱兑换 II：动态规划 */
+    fun coinChangeIIDP(coins: IntArray, amt: Int): Int {
+        val n = coins.size
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = Array(n + 1) { IntArray(amt + 1) }
+        // 初始化首列
+        for (i in 0..n) {
+            dp[i][0] = 1
+        }
+        // 状态转移
+        for (i in 1..n) {
+            for (a in 1..amt) {
+                if (coins[i - 1] > a) {
+                    // 若超过目标金额，则不选硬币 i
+                    dp[i][a] = dp[i - 1][a]
+                } else {
+                    // 不选和选硬币 i 这两种方案之和
+                    dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - coins[i - 1]]
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][amt]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="coin_change_ii.zig"
@@ -2145,6 +2288,31 @@ $$
     }
     ```
 
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="coin_change_ii.kt"
+    /* 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划 */
+    fun coinChangeIIDPComp(coins: IntArray, amt: Int): Int {
+        val n = coins.size
+        // 初始化 dp 表
+        val dp = IntArray(amt + 1)
+        dp[0] = 1
+        // 状态转移
+        for (i in 1..n) {
+            for (a in 1..amt) {
+                if (coins[i - 1] > a) {
+                    // 若超过目标金额，则不选硬币 i
+                    dp[a] = dp[a]
+                } else {
+                    // 不选和选硬币 i 这两种方案之和
+                    dp[a] = dp[a] + dp[a - coins[i - 1]]
+                }
+            }
+        }
+        return dp[amt]
+    }
+    ```
+
 === "Zig"
 
     ```zig title="coin_change_ii.zig"