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2025-07-24 02:03:10 +08:00 · 2023-07-21 21:53:15 +08:00
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--- a/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html
+++ b/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html
@ -2812,30 +2812,43 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1432" class="md-nav__link">
-    14.3.2. &nbsp; 问题求解
+    14.3.2. &nbsp; 问题求解步骤
+  </a>
+  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.3.2.   问题求解步骤">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    方法一：暴力搜索
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1433" class="md-nav__link">
-    14.3.3. &nbsp; 方法一：暴力搜索
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    方法二：记忆化搜索
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1434" class="md-nav__link">
-    14.3.4. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    方法三：动态规划
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1435" class="md-nav__link">
-    14.3.5. &nbsp; 方法三：动态规划
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    状态压缩
  </a>
  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@ -2981,6 +2994,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@ -3116,6 +3131,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@ -3314,30 +3357,43 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1432" class="md-nav__link">
-    14.3.2. &nbsp; 问题求解
+    14.3.2. &nbsp; 问题求解步骤
+  </a>
+  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.3.2.   问题求解步骤">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    方法一：暴力搜索
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1433" class="md-nav__link">
-    14.3.3. &nbsp; 方法一：暴力搜索
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    方法二：记忆化搜索
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1434" class="md-nav__link">
-    14.3.4. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    方法三：动态规划
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1435" class="md-nav__link">
-    14.3.5. &nbsp; 方法三：动态规划
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    状态压缩
  </a>
  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@ -3384,7 +3440,7 @@
 <li>问题描述中有明显的排列组合的特征，需要返回具体的多个方案。</li>
 </ul>
 <p>如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并尝试求解它。</p>
-<h2 id="1432">14.3.2. &nbsp; 问题求解<a class="headerlink" href="#1432" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h2 id="1432">14.3.2. &nbsp; 问题求解步骤<a class="headerlink" href="#1432" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>动态规划的解题流程可能会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。</p>
 <p>为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题「最小路径和」来举例。</p>
 <div class="admonition question">
@ -3432,7 +3488,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p>边界条件即初始状态，在搜索中用于剪枝，在动态规划中用于初始化 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。状态转移顺序的核心是要保证在计算当前问题时，所有它依赖的更小子问题都已经被正确地计算出来。</p>
 </div>
 <p>接下来，我们就可以实现动态规划代码了。然而，由于子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 <span class="arithmatex">\(\rightarrow\)</span> 记忆化搜索 <span class="arithmatex">\(\rightarrow\)</span> 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。</p>
-<h2 id="1433">14.3.3. &nbsp; 方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#1433" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_1">方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>从状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 开始搜索，不断分解为更小的状态 <span class="arithmatex">\([i-1, j]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\([i, j-1]\)</span> ，包括以下递归要素：</p>
 <ul>
 <li><strong>递归参数</strong>：状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> ；<strong>返回值</strong>：从 <span class="arithmatex">\([0, 0]\)</span> 到 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 的最小路径和 <span class="arithmatex">\(dp[i, j]\)</span> ；</li>
@ -3580,7 +3636,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p align="center"> Fig. 暴力搜索递归树 </p>

 <p>每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 <span class="arithmatex">\(m + n - 2\)</span> 步，所以最差时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(2^{m + n})\)</span> 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。</p>
-<h2 id="1434">14.3.4. &nbsp; 方法二：记忆化搜索<a class="headerlink" href="#1434" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_2">方法二：记忆化搜索<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为了避免重复计算重叠子问题，我们引入一个和网格 <code>grid</code> 相同尺寸的记忆列表 <code>mem</code> ，用于记录各个子问题的解，提升搜索效率。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@ -3753,7 +3809,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p><img alt="记忆化搜索递归树" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 记忆化搜索递归树 </p>

-<h2 id="1435">14.3.5. &nbsp; 方法三：动态规划<a class="headerlink" href="#1435" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_3">方法三：动态规划<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>动态规划代码是从底至顶的，仅需循环即可实现。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:11"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@ -3967,6 +4023,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_4">状态压缩<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>如果希望进一步节省空间使用，可以考虑进行状态压缩。每个格子只与左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。</p>
 <p>由于数组 <code>dp</code> 只能表示一行的状态，因此我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="5:11"><input checked="checked" id="__tabbed_5_1" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_2" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_3" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_4" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_5" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_6" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_7" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_8" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_9" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_10" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_11" name="__tabbed_5" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_5_1">Java</label><label for="__tabbed_5_2">C++</label><label for="__tabbed_5_3">Python</label><label for="__tabbed_5_4">Go</label><label for="__tabbed_5_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_5_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_5_7">C</label><label for="__tabbed_5_8">C#</label><label for="__tabbed_5_9">Swift</label><label for="__tabbed_5_10">Zig</label><label for="__tabbed_5_11">Dart</label></div>