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2025-07-28 21:02:56 +08:00 · 2023-07-21 21:53:15 +08:00
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commit 872edb67c1
109 changed files with 11092 additions and 111 deletions
--- a/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html
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    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1221" class="md-nav__link">
-    12.2.1. &nbsp; 基于分治实现二分
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    基于分治的搜索算法
+  </a>
+  
+</li>
+      
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+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    基于分治实现二分
  </a>
  
 </li>
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+  
+  
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+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
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+
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        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1221" class="md-nav__link">
-    12.2.1. &nbsp; 基于分治实现二分
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    基于分治的搜索算法
+  </a>
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+</li>
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+    基于分治实现二分
  </a>
  
 </li>
@ -3309,13 +3353,14 @@

 <h1 id="122">12.2. &nbsp; 分治搜索策略<a class="headerlink" href="#122" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>我们已经学过，搜索算法分为两大类：暴力搜索、自适应搜索。暴力搜索的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。自适应搜索利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 甚至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 的时间复杂度。</p>
+<h3 id="_1">基于分治的搜索算法<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>实际上，<strong><span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的</strong>，例如：</p>
 <ul>
 <li>二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。</li>
 <li>树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。</li>
 </ul>
 <p>分治之所以能够提升搜索效率，是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，<strong>而基于分治的搜索每轮可以排除一半选项</strong>。</p>
-<h2 id="1221">12.2.1. &nbsp; 基于分治实现二分<a class="headerlink" href="#1221" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_2">基于分治实现二分<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>接下来，我们尝试从分治策略的角度分析二分查找的性质：</p>
 <ul>
 <li><strong>问题可以被分解</strong>：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。</li>
--- a/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html
@ -2361,6 +2361,25 @@
        
      
      
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+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    12.3. &nbsp; 构建树问题
+  </span>
+  
+    
+  
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+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
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+        </label>
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@ -2379,6 +2398,53 @@

      </a>
      
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+      <span class="md-nav__icon md-icon"></span>
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+    </label>
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+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    判断是否为分治问题
+  </a>
+  
+</li>
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+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    如何划分子树
+  </a>
+  
+</li>
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+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    使用指针描述子树区间
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
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+    </ul>
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+</nav>
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    </li>
  

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+              
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+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
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+    
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+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
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@ -3226,6 +3322,42 @@
    
  
  
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+      目录
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+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    判断是否为分治问题
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+</li>
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+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    如何划分子树
+  </a>
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+</li>
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+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    使用指针描述子树区间
+  </a>
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+</li>
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+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
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+</li>
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                </div>
@ -3255,12 +3387,14 @@
 <p><img alt="构建二叉树的示例数据" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 构建二叉树的示例数据 </p>

+<h3 id="_1">判断是否为分治问题<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>原问题定义为从 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题：</p>
 <ul>
 <li><strong>问题可以被分解</strong>：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。</li>
 <li><strong>子问题是独立的</strong>：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历或后序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。</li>
 <li><strong>子问题的解可以合并</strong>：一旦我们得到了左子树和右子树，我们可以将它们链接到根节点上，从而得到原问题的解。</li>
 </ul>
+<h3 id="_2">如何划分子树<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但问题是：<strong>如何通过前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> 来划分左子树和右子树呢</strong>？</p>
 <p>根据定义，<code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 都可以被划分为三个部分：</p>
 <ul>
@ -3276,6 +3410,7 @@
 <p><img alt="在前序和中序遍历中划分子树" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 在前序和中序遍历中划分子树 </p>

+<h3 id="_3">使用指针描述子树区间<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>至此，<strong>我们已经推导出根节点、左子树、右子树在 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 中的索引区间</strong>。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：</p>
 <ul>
 <li>将当前树的根节点在 <code>preorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ；</li>
@ -3315,6 +3450,7 @@
 <p><img alt="根节点和左右子树的索引区间表示" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>

+<h3 id="_4">代码实现<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>接下来就可以实现代码了。为了提升查询 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 的效率，我们借助一个哈希表 <code>hmap</code> 来存储 <code>inorder</code> 列表元素到索引的映射。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
--- a/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html
@ -2987,6 +2987,8 @@
        
      
        
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@ -3122,6 +3124,34 @@

              
            
+              
+                
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
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+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
--- a/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html
+++ b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html
@ -2389,6 +2389,25 @@
        
      
      
+        <label class="md-nav__link md-nav__link--active" for="__toc">
+          
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    12.4. &nbsp; 汉诺塔问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
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+
+  
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+          <span class="md-nav__icon md-icon"></span>
+        </label>
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@ -2407,6 +2426,46 @@

      </a>
      
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+      目录
+    </label>
+    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    考虑基本情况
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    子问题分解
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+      
+    </ul>
+  
+</nav>
+      
    </li>
  

@ -2908,6 +2967,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@ -3043,6 +3104,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
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+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
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+  
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@ -3226,6 +3315,35 @@
    
  
  
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+    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
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+    考虑基本情况
+  </a>
+  
+</li>
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+    子问题分解
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+      
+    </ul>
+  
 </nav>
                  </div>
                </div>
@ -3262,7 +3380,8 @@
 <p align="center"> Fig. 汉诺塔问题示例 </p>

 <p>在本文中，<strong>我们将规模为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的汉诺塔问题记做 <span class="arithmatex">\(f(i)\)</span></strong> 。例如 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 代表将 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 的汉诺塔问题。</p>
-<p>先考虑最简单的情况：对于问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 即可。</p>
+<h3 id="_1">考虑基本情况<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 即可。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:2"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;2&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@ -3296,6 +3415,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_2">子问题分解<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的解，我们可以从分治角度思考，<strong>将 <code>A</code> 顶部的两个圆盘看做一个整体</strong>，并执行以下步骤：</p>
 <ol>
 <li>令 <code>B</code> 为目标柱、<code>C</code> 为缓冲柱，将两个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>B</code> ；</li>
@ -3330,6 +3450,7 @@
 <p><img alt="汉诺塔问题的分治策略" src="../hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的分治策略 </p>

+<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>在代码实现中，我们声明一个递归函数 <code>dfs(i, src, buf, tar)</code> ，它的作用是将柱 <code>src</code> 顶部的 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个圆盘借助缓冲柱 <code>buf</code> 移动至目标柱 <code>tar</code> 。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:11"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_5" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_6" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_7" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_8" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_9" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_10" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_11" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1">Java</label><label for="__tabbed_4_2">C++</label><label for="__tabbed_4_3">Python</label><label for="__tabbed_4_4">Go</label><label for="__tabbed_4_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_4_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_4_7">C</label><label for="__tabbed_4_8">C#</label><label for="__tabbed_4_9">Swift</label><label for="__tabbed_4_10">Zig</label><label for="__tabbed_4_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
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 <p><img alt="汉诺塔问题的递归树" src="../hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的递归树 </p>

-<p>有趣的是，汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 <span class="arithmatex">\(64\)</span> 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。</p>
+<div class="admonition quote">
+<p class="admonition-title">Quote</p>
+<p>汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 <span class="arithmatex">\(64\)</span> 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。</p>
 <p>然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 <span class="arithmatex">\(2^{64} \approx 1.84×10^{19}\)</span> 秒，合约 <span class="arithmatex">\(5850\)</span> 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。</p>
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+      <a href="../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
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+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
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+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
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