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2025-07-10 08:50:20 +08:00 · 2023-07-21 21:53:15 +08:00
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commit 872edb67c1
109 changed files with 11092 additions and 111 deletions
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+  
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+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
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+    </span>
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+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
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+      </a>
+    </li>
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+
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--- a/chapter_backtracking/n_queens_problem/index.html
+++ b/chapter_backtracking/n_queens_problem/index.html
@ -2611,8 +2611,29 @@
    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1341" class="md-nav__link">
-    13.4.1. &nbsp; 复杂度分析
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    皇后放置策略
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    列与对角线剪枝
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    复杂度分析
  </a>
  
 </li>
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+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
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+
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          </ul>
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@ -3270,8 +3321,29 @@
    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1341" class="md-nav__link">
-    13.4.1. &nbsp; 复杂度分析
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    皇后放置策略
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    列与对角线剪枝
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    复杂度分析
  </a>
  
 </li>
@ -3312,11 +3384,13 @@
 <p><img alt="n 皇后问题的约束条件" src="../n_queens_problem.assets/n_queens_constraints.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. n 皇后问题的约束条件 </p>

+<h3 id="_1">皇后放置策略<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>皇后的数量和棋盘的行数都为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，因此我们容易得到第一个推论：<strong>棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后</strong>。这意味着，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。<strong>此策略起到了剪枝的作用</strong>，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。</p>
 <p>下图展示了 <span class="arithmatex">\(4\)</span> 皇后问题的逐行放置过程。受篇幅限制，下图仅展开了第一行的一个搜索分支。在搜索过程中，我们将不满足列约束和对角线约束的方案都剪枝了。</p>
 <p><img alt="逐行放置策略" src="../n_queens_problem.assets/n_queens_placing.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 逐行放置策略 </p>

+<h3 id="_2">列与对角线剪枝<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为了实现根据列约束剪枝，我们可以利用一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的布尔型数组 <code>cols</code> 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 <code>cols</code> 将已有皇后的列剪枝，并在回溯中动态更新 <code>cols</code> 的状态。</p>
 <p>那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 <code>(row, col)</code> ，观察矩阵的某条主对角线，<strong>我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引相等</strong>，即 <code>row - col</code> 为恒定值。换句话说，若两个格子满足 <code>row1 - col1 == row2 - col2</code> ，则这两个格子一定处在一条主对角线上。</p>
 <p>利用该性质，我们可以借助一个数组 <code>diag1</code> 来记录每条主对角线上是否有皇后。注意，<span class="arithmatex">\(n\)</span> 维方阵 <code>row - col</code> 的范围是 <span class="arithmatex">\([-n + 1, n - 1]\)</span> ，因此共有 <span class="arithmatex">\(2n - 1\)</span> 条主对角线。</p>
@ -3324,6 +3398,7 @@
 <p align="center"> Fig. 处理列约束和对角线约束 </p>

 <p>同理，<strong>次对角线上的所有格子的 <code>row + col</code> 是恒定值</strong>。我们可以使用同样的方法，借助数组 <code>diag2</code> 来处理次对角线约束。</p>
+<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>根据以上分析，我们便可以写出 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 皇后的解题代码。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@ -3761,7 +3836,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<h2 id="1341">13.4.1. &nbsp; 复杂度分析<a class="headerlink" href="#1341" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_4">复杂度分析<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>逐行放置 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 <span class="arithmatex">\(n, n-1, \cdots, 2, 1\)</span> 个选择，<strong>因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span></strong> 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。</p>
 <p><code>state</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间，<code>cols</code> , <code>diags1</code> , <code>diags2</code> 皆使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。最大递归深度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。因此，<strong>空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span></strong> 。</p>

--- a/chapter_backtracking/permutations_problem/index.html
+++ b/chapter_backtracking/permutations_problem/index.html
@ -2572,23 +2572,63 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1321" class="md-nav__link">
-    13.2.1. &nbsp; 无重复的情况
+    13.2.1. &nbsp; 无相等元素的情况
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="13.2.1.   无相等元素的情况">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    重复选择剪枝
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1322" class="md-nav__link">
-    13.2.2. &nbsp; 考虑重复的情况
+    13.2.2. &nbsp; 考虑相等元素的情况
+  </a>
+  
+    <nav class="md-nav" aria-label="13.2.2.   考虑相等元素的情况">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1323" class="md-nav__link">
-    13.2.3. &nbsp; 复杂度分析
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    两种剪枝对比
  </a>
  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_5" class="md-nav__link">
+    复杂度分析
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@ -2959,6 +2999,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@ -3094,6 +3136,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@ -3285,23 +3355,63 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1321" class="md-nav__link">
-    13.2.1. &nbsp; 无重复的情况
+    13.2.1. &nbsp; 无相等元素的情况
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="13.2.1.   无相等元素的情况">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    重复选择剪枝
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1322" class="md-nav__link">
-    13.2.2. &nbsp; 考虑重复的情况
+    13.2.2. &nbsp; 考虑相等元素的情况
+  </a>
+  
+    <nav class="md-nav" aria-label="13.2.2.   考虑相等元素的情况">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1323" class="md-nav__link">
-    13.2.3. &nbsp; 复杂度分析
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    两种剪枝对比
  </a>
  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_5" class="md-nav__link">
+    复杂度分析
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@ -3354,7 +3464,7 @@
 </tbody>
 </table>
 </div>
-<h2 id="1321">13.2.1. &nbsp; 无重复的情况<a class="headerlink" href="#1321" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h2 id="1321">13.2.1. &nbsp; 无相等元素的情况<a class="headerlink" href="#1321" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。</p>
@ -3365,6 +3475,7 @@
 <p><img alt="全排列的递归树" src="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 全排列的递归树 </p>

+<h3 id="_1">代码实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 <code>backtrack()</code> 函数中。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@ -3656,12 +3767,13 @@
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_2">重复选择剪枝<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 <code>selected</code> ，它的长度与输入数组长度相等，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择。我们利用 <code>selected</code> 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。</p>
 <p>如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。<strong>此剪枝操作可将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span></strong> 。</p>
 <p><img alt="全排列剪枝示例" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>

-<h2 id="1322">13.2.2. &nbsp; 考虑重复的情况<a class="headerlink" href="#1322" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h2 id="1322">13.2.2. &nbsp; 考虑相等元素的情况<a class="headerlink" href="#1322" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>输入一个整数数组，<strong>数组中可能包含重复元素</strong>，返回所有不重复的排列。</p>
@ -3672,10 +3784,12 @@

 <p>那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
 <p>观察发现，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。同理，在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 后，第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
+<p>本质上看，<strong>我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次</strong>。</p>
 <p><img alt="重复排列剪枝" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 重复排列剪枝 </p>

-<p>本质上看，<strong>我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次</strong>。因此，在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 <code>duplicated</code> ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。</p>
+<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<p>在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 <code>duplicated</code> ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@ -3983,6 +4097,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_4">两种剪枝对比<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：</p>
 <ul>
 <li><strong>剪枝条件一</strong>：整个搜索过程中只有一个 <code>selected</code> 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 <code>state</code> 中重复出现。</li>
@ -3992,7 +4107,7 @@
 <p><img alt="两种剪枝条件的作用范围" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 两种剪枝条件的作用范围 </p>

-<h2 id="1323">13.2.3. &nbsp; 复杂度分析<a class="headerlink" href="#1323" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_5">复杂度分析<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>假设元素两两之间互不相同，则 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素共有 <span class="arithmatex">\(n!\)</span>  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的列表，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间。因此，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n!n)\)</span></strong> 。</p>
 <p>最大递归深度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。<code>selected</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。同一时刻最多共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个 <code>duplicated</code> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。因此，<strong>全排列 I 的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ，全排列 II 的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span></strong> 。</p>

--- a/chapter_backtracking/subset_sum_problem/index.html
+++ b/chapter_backtracking/subset_sum_problem/index.html
@ -2592,23 +2592,63 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1331" class="md-nav__link">
-    13.3.1. &nbsp; 从全排列引出解法
+    13.3.1. &nbsp; 无重复元素的情况
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="13.3.1.   无重复元素的情况">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    从全排列引出解法
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    重复子集剪枝
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1332" class="md-nav__link">
-    13.3.2. &nbsp; 重复子集剪枝
+    13.3.2. &nbsp; 考虑重复元素的情况
+  </a>
+  
+    <nav class="md-nav" aria-label="13.3.2.   考虑重复元素的情况">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    相等元素剪枝
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1333" class="md-nav__link">
-    13.3.3. &nbsp; 相等元素剪枝
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_5" class="md-nav__link">
+    代码实现
  </a>
  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@ -2959,6 +2999,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@ -3094,6 +3136,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@ -3285,23 +3355,63 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1331" class="md-nav__link">
-    13.3.1. &nbsp; 从全排列引出解法
+    13.3.1. &nbsp; 无重复元素的情况
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="13.3.1.   无重复元素的情况">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    从全排列引出解法
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    重复子集剪枝
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1332" class="md-nav__link">
-    13.3.2. &nbsp; 重复子集剪枝
+    13.3.2. &nbsp; 考虑重复元素的情况
+  </a>
+  
+    <nav class="md-nav" aria-label="13.3.2.   考虑重复元素的情况">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    相等元素剪枝
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1333" class="md-nav__link">
-    13.3.3. &nbsp; 相等元素剪枝
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_5" class="md-nav__link">
+    代码实现
  </a>
  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@ -3328,12 +3438,13 @@


 <h1 id="133">13.3. &nbsp; 子集和问题<a class="headerlink" href="#133" title="Permanent link">&para;</a></h1>
+<h2 id="1331">13.3.1. &nbsp; 无重复元素的情况<a class="headerlink" href="#1331" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>给定一个正整数数组 <code>nums</code> 和一个目标正整数 <code>target</code> ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 <code>target</code> 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。</p>
 </div>
 <p>例如，输入集合 <span class="arithmatex">\(\{3, 4, 5\}\)</span> 和目标整数 <span class="arithmatex">\(9\)</span> ，由于集合中的数字可以被重复选取，因此解为 <span class="arithmatex">\(\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}\)</span> 。请注意，子集是不区分元素顺序的，例如 <span class="arithmatex">\(\{4, 5\}\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\{5, 4\}\)</span> 是同一个子集。</p>
-<h2 id="1331">13.3.1. &nbsp; 从全排列引出解法<a class="headerlink" href="#1331" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_1">从全排列引出解法<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>类似于上节全排列问题的解法，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 <code>target</code> 时，就将子集记录至结果列表。</p>
 <p>而与全排列问题不同的是，本题允许重复选取同一元素，因此无需借助 <code>selected</code> 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
@ -3574,7 +3685,7 @@
 <p><img alt="子集搜索与越界剪枝" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 子集搜索与越界剪枝 </p>

-<h2 id="1332">13.3.2. &nbsp; 重复子集剪枝<a class="headerlink" href="#1332" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_2">重复子集剪枝<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为了去除重复子集，<strong>一种直接的思路是对结果列表进行去重</strong>。但这个方法效率很低，因为：</p>
 <ul>
 <li>当数组元素较多，尤其是当 <code>target</code> 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。</li>
@ -3590,6 +3701,7 @@
 <p align="center"> Fig. 不同选择顺序导致的重复子集 </p>

 <p>总结来看，给定输入数组 <span class="arithmatex">\([x_1, x_2, \cdots, x_n]\)</span> ，设搜索过程中的选择序列为 <span class="arithmatex">\([x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]\)</span> ，则该选择序列需要满足 <span class="arithmatex">\(i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m\)</span> 。<strong>不满足该条件的选择序列都是重复子集</strong>。</p>
+<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为实现该剪枝，我们初始化变量 <code>start</code> ，用于指示遍历起点。<strong>当做出选择 <span class="arithmatex">\(x_{i}\)</span> 后，设定下一轮从索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 开始遍历</strong>，从而完成子集去重。</p>
 <p>除此之外，我们还对代码进行了两项优化。首先，我们在开启搜索前将数组 <code>nums</code> 排序，在搜索过程中，<strong>当子集和超过 <code>target</code> 时直接结束循环</strong>，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 <code>target</code> 。其次，<strong>我们通过在 <code>target</code> 上执行减法来统计元素和</strong>，当 <code>target</code> 等于 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 时记录解，省去了元素和变量 <code>total</code> 。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
@ -3844,7 +3956,7 @@
 <p><img alt="子集和 I 回溯过程" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 子集和 I 回溯过程 </p>

-<h2 id="1333">13.3.3. &nbsp; 相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#1333" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h2 id="1332">13.3.2. &nbsp; 考虑重复元素的情况<a class="headerlink" href="#1332" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>给定一个正整数数组 <code>nums</code> 和一个目标正整数 <code>target</code> ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 <code>target</code> 。<strong>给定数组可能包含重复元素，每个元素只可被选择一次</strong>。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。</p>
@ -3853,8 +3965,10 @@
 <p><img alt="相等元素导致的重复子集" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 相等元素导致的重复子集 </p>

+<h3 id="_4">相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为解决此问题，<strong>我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次</strong>。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。利用该特性，在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。</p>
 <p>与此同时，<strong>本题规定数组元素只能被选择一次</strong>。幸运的是，我们也可以利用变量 <code>start</code> 来满足该约束：当做出选择 <span class="arithmatex">\(x_{i}\)</span> 后，设定下一轮从索引 <span class="arithmatex">\(i + 1\)</span> 开始向后遍历。这样即能去除重复子集，也能避免重复选择相等元素。</p>
+<h3 id="_5">代码实现<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:11"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
--- a/chapter_backtracking/summary/index.html
+++ b/chapter_backtracking/summary/index.html
@ -2908,6 +2908,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@ -3043,6 +3045,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>