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docs/zh/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

@@ -0,0 +1,137 @@
+# 分治搜索策略
+
+我们已经学过，搜索算法分为两大类。
+
+- **暴力搜索**：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 $O(n)$ 。
+- **自适应搜索**：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 的时间复杂度。
+
+实际上，**时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的**，例如二分查找和树。
+
+- 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
+- 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。
+
+二分查找的分治策略如下所示。
+
+- **问题可以被分解**：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
+- **子问题是独立的**：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。
+- **子问题的解无须合并**：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。
+
+分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，**而分治搜索每轮可以排除一半选项**。
+
+### 基于分治实现二分
+
+在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。
+
+!!! question
+
+    给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，数组中所有元素都是唯一的，请查找元素 `target` 。
+
+从分治角度，我们将搜索区间 $[i, j]$ 对应的子问题记为 $f(i, j)$ 。
+
+从原问题 $f(0, n-1)$ 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。
+
+1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间。
+2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
+3. 循环第 `1.` 和 `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。
+
+下图展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。
+
+![二分查找的分治过程](binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png)
+
+在实现代码中，我们声明一个递归函数 `dfs()` 来求解问题 $f(i, j)$ 。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search_recur.py"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binary_search}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search_recur.cpp"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search_recur.java"
+    [class]{binary_search_recur}-[func]{dfs}
+
+    [class]{binary_search_recur}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search_recur.cs"
+    [class]{binary_search_recur}-[func]{dfs}
+
+    [class]{binary_search_recur}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search_recur.go"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search_recur.swift"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_search_recur.js"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_search_recur.ts"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_search_recur.dart"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_search_recur.rs"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binary_search}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search_recur.c"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search_recur.zig"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```

docs/zh/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md

@@ -0,0 +1,191 @@
+# 构建二叉树问题
+
+!!! question
+
+    给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。
+
+![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png)
+
+### 判断是否为分治问题
+
+原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树，其是一个典型的分治问题。
+
+- **问题可以被分解**：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
+- **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
+- **子问题的解可以合并**：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。
+
+### 如何划分子树
+
+根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，**但如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**？
+
+根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分。
+
+- 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如上图的树对应 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
+- 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如上图的树对应 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
+
+以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果。
+
+1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
+2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。
+3. 根据 `inorder` 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
+
+![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
+
+### 基于变量描述子树区间
+
+根据以上划分方法，**我们已经得到根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。
+
+- 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ 。
+- 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ 。
+- 将当前树在 `inorder` 中的索引区间记为 $[l, r]$ 。
+
+如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引，以及子树在 `inorder` 中的索引区间。
+
+<p align="center"> 表 <id> &nbsp; 根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
+
+|        | 根节点在 `preorder` 中的索引 | 子树在 `inorder` 中的索引区间 |
+| ------ | -------------------------------- | ----------------------------- |
+| 当前树 | $i$                              | $[l, r]$                      |
+| 左子树 | $i + 1$                          | $[l, m-1]$                    |
+| 右子树 | $i + 1 + (m - l)$                | $[m+1, r]$                    |
+
+请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。
+
+![根节点和左右子树的索引区间表示](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png)
+
+### 代码实现
+
+为了提升查询 $m$ 的效率，我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储数组 `inorder` 中元素到索引的映射。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="build_tree.py"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{build_tree}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="build_tree.cpp"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="build_tree.java"
+    [class]{build_tree}-[func]{dfs}
+
+    [class]{build_tree}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="build_tree.cs"
+    [class]{build_tree}-[func]{dfs}
+
+    [class]{build_tree}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="build_tree.go"
+    [class]{}-[func]{dfsBuildTree}
+
+    [class]{}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="build_tree.swift"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="build_tree.js"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="build_tree.ts"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="build_tree.dart"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="build_tree.rs"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{build_tree}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="build_tree.c"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="build_tree.zig"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{buildTree}
+    ```
+
+下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
+
+=== "<1>"
+    ![构建二叉树的递归过程](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![built_tree_step2](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![built_tree_step3](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![built_tree_step4](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![built_tree_step5](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![built_tree_step6](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![built_tree_step7](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![built_tree_step8](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![built_tree_step9](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step9.png)
+
+每个递归函数内的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 的划分结果如下图所示。
+
+![每个递归函数中的划分结果](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_overall.png)
+
+设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。
+
+哈希表存储 `inorder` 元素到索引的映射，空间复杂度为 $O(n)$ 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，使用 $O(n)$ 的栈帧空间。**因此总体空间复杂度为 $O(n)$** 。

docs/zh/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md

@@ -0,0 +1,91 @@
+# 分治算法
+
+「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两个步骤。
+
+1. **分（划分阶段）**：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。
+2. **治（合并阶段）**：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。
+
+如下图所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一。
+
+1. **分**：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。
+2. **治**：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。
+
+![归并排序的分治策略](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_merge_sort.png)
+
+## 如何判断分治问题
+
+一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据。
+
+1. **问题可以被分解**：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。
+2. **子问题是独立的**：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。
+3. **子问题的解可以被合并**：原问题的解通过合并子问题的解得来。
+
+显然，归并排序是满足以上三条判断依据的。
+
+1. **问题可以被分解**：递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。
+2. **子问题是独立的**：每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。
+3. **子问题的解可以被合并**：两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。
+
+## 通过分治提升效率
+
+分治不仅可以有效地解决算法问题，**往往还可以带来算法效率的提升**。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。
+
+那么，我们不禁发问：**为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么**？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。
+
+### 操作数量优化
+
+以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 $n$ 的数组需要 $O(n^2)$ 时间。假设我们按照下图所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 $O(n)$ 时间，排序每个子数组需要 $O((n / 2)^2)$ 时间，合并两个子数组需要 $O(n)$ 时间，总体时间复杂度为：
+
+$$
+O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
+$$
+
+![划分数组前后的冒泡排序](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_bubble_sort.png)
+
+接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：
+
+$$
+\begin{aligned}
+n^2 & > \frac{n^2}{2} + 2n \newline
+n^2 - \frac{n^2}{2} - 2n & > 0 \newline
+n(n - 4) & > 0
+\end{aligned}
+$$
+
+**这意味着当 $n > 4$ 时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高**。请注意，划分后的时间复杂度仍然是平方阶 $O(n^2)$ ，只是复杂度中的常数项变小了。
+
+进一步想，**如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组**，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？这种思路实际上就是“归并排序”，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+
+再思考，**如果我们多设置几个划分点**，将原数组平均划分为 $k$ 个子数组呢？这种情况与“桶排序”非常类似，它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到 $O(n + k)$ 。
+
+### 并行计算优化
+
+我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，**因此通常可以并行解决**。也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，**还有利于操作系统的并行优化**。
+
+并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。
+
+比如在下图所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。
+
+![桶排序的并行计算](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png)
+
+## 分治常见应用
+
+一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题。
+
+- **寻找最近点对**：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后再找出跨越两部分的最近点对。
+- **大整数乘法**：例如 Karatsuba 算法，它是将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。
+- **矩阵乘法**：例如 Strassen 算法，它是将大矩阵乘法分解为多个小矩阵的乘法和加法。
+- **汉诺塔问题**：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。
+- **求解逆序对**：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。
+
+另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛。
+
+- **二分查找**：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。
+- **归并排序**：文章开头已介绍，不再赘述。
+- **快速排序**：快速排序是选取一个基准值，然后把数组分为两个子数组，一个子数组的元素比基准值小，另一子数组的元素比基准值大，然后再对这两部分进行相同的划分操作，直至子数组只剩下一个元素。
+- **桶排序**：桶排序的基本思想是将数据分散到多个桶，然后对每个桶内的元素进行排序，最后将各个桶的元素依次取出，从而得到一个有序数组。
+- **树**：例如二叉搜索树、AVL 树、红黑树、B 树、B+ 树等，它们的查找、插入和删除等操作都可以视为分治的应用。
+- **堆**：堆是一种特殊的完全二叉树，其各种操作，如插入、删除和堆化，实际上都隐含了分治的思想。
+- **哈希表**：虽然哈希表来并不直接应用分治，但某些哈希冲突解决策略间接应用了分治策略，例如，链式地址中的长链表会被转化为红黑树，以提升查询效率。
+
+可以看出，**分治是一种“润物细无声”的算法思想**，隐含在各种算法与数据结构之中。

docs/zh/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md

@@ -0,0 +1,213 @@
+# 汉诺塔问题
+
+在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。
+
+!!! question
+
+    给定三根柱子，记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。
+    
+    1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。
+    2. 每次只能移动一个圆盘。
+    3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
+
+![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png)
+
+**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
+
+### 考虑基本情况
+
+如下图所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 1 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png)
+
+如下图所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。
+
+1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
+2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
+3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 2 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f2_step2](hanota_problem.assets/hanota_f2_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![hanota_f2_step3](hanota_problem.assets/hanota_f2_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)
+
+解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。
+
+### 子问题分解
+
+对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。
+
+因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
+
+1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` 。
+2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
+3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` 。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 3 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f3_step2](hanota_problem.assets/hanota_f3_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![hanota_f3_step3](hanota_problem.assets/hanota_f3_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png)
+
+本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。
+
+至此，我们可总结出下图所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。
+
+1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
+2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。
+3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` 。
+
+对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
+
+![汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png)
+
+### 代码实现
+
+在代码中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="hanota.py"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solve_hanota}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="hanota.cpp"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="hanota.java"
+    [class]{hanota}-[func]{move}
+
+    [class]{hanota}-[func]{dfs}
+
+    [class]{hanota}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="hanota.cs"
+    [class]{hanota}-[func]{move}
+
+    [class]{hanota}-[func]{dfs}
+
+    [class]{hanota}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="hanota.go"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfsHanota}
+
+    [class]{}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="hanota.swift"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="hanota.js"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="hanota.ts"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="hanota.dart"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="hanota.rs"
+    [class]{}-[func]{move_pan}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solve_hanota}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="hanota.c"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="hanota.zig"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{solveHanota}
+    ```
+
+如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
+
+![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)
+
+!!! quote
+
+    汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
+
+    然而，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。

docs/zh/chapter_divide_and_conquer/index.md

@@ -0,0 +1,13 @@
+# 分治
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+![分治](../assets/covers/chapter_divide_and_conquer.jpg){ width="600" }
+
+</div>
+
+!!! abstract
+
+    难题被逐层拆解，每一次的拆解都使它变得更为简单。
+    
+    分而治之揭示了一个重要的事实：从简单做起，一切都不再复杂。

docs/zh/chapter_divide_and_conquer/summary.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+# 小结
+
+- 分治算法是一种常见的算法设计策略，包括分（划分）和治（合并）两个阶段，通常基于递归实现。
+- 判断是否是分治算法问题的依据包括：问题能否被分解、子问题是否独立、子问题是否可以被合并。
+- 归并排序是分治策略的典型应用，其递归地将数组划分为等长的两个子数组，直到只剩一个元素时开始逐层合并，从而完成排序。
+- 引入分治策略往往可以带来算法效率的提升。一方面，分治策略减少了操作数量；另一方面，分治后有利于系统的并行优化。
+- 分治既可以解决许多算法问题，也广泛应用于数据结构与算法设计中，处处可见其身影。
+- 相较于暴力搜索，自适应搜索效率更高。时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的。
+- 二分查找是分治策略的另一个典型应用，它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。
+- 在构建二叉树问题中，构建树（原问题）可以被划分为构建左子树和右子树（子问题），其可以通过划分前序遍历和中序遍历的索引区间来实现。
+- 在汉诺塔问题中，一个规模为 $n$ 的问题可以被划分为两个规模为 $n-1$ 的子问题和一个规模为 $1$ 的子问题。按顺序解决这三个子问题后，原问题随之得到解决。