build

build/chapter_tree/binary_tree.md

@@ -0,0 +1,578 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 7.1. 二叉树
+
+「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    /* 链表结点类 */
+    class TreeNode {
+        int val;         // 结点值
+        TreeNode left;   // 左子结点指针
+        TreeNode right;  // 右子结点指针
+        TreeNode(int x) { val = x; }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    /* 链表结点结构体 */
+    struct TreeNode {
+        int val;          // 结点值
+        TreeNode *left;   // 左子结点指针
+        TreeNode *right;  // 右子结点指针
+        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
+    };
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    """ 链表结点类 """
+    class TreeNode:
+        def __init__(self, val=None, left=None, right=None):
+            self.val = val      # 结点值
+            self.left = left    # 左子结点指针
+            self.right = right  # 右子结点指针
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title=""
+    /* 链表结点类 */
+    type TreeNode struct {
+        Val   int
+        Left  *TreeNode
+        Right *TreeNode
+    }
+    /* 结点初始化方法 */
+    func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
+        return &TreeNode{
+            Left:  nil,
+            Right: nil,
+            Val:   v,
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title=""
+    /* 链表结点类 */
+    function TreeNode(val, left, right) {
+        this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
+        this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
+        this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
+    }
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title=""
+    /* 链表结点类 */
+    class TreeNode {
+        val: number;
+        left: TreeNode | null;
+        right: TreeNode | null;
+    
+        constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
+            this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
+            this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
+            this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title=""
+    
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title=""
+    /* 链表结点类 */
+    class TreeNode {
+        int val;          // 结点值
+        TreeNode? left;   // 左子结点指针
+        TreeNode? right;  // 右子结点指针
+        TreeNode(int x) { val = x; }
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title=""
+    /* 链表结点类 */
+    class TreeNode {
+        var val: Int // 结点值
+        var left: TreeNode? // 左子结点指针
+        var right: TreeNode? // 右子结点指针
+
+        init(x: Int) {
+            val = x
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title=""
+
+    ```
+
+结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。
+
+除了叶结点外，每个结点都有子结点和子树。例如，若将下图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 及其以下结点形成的树」和「结点 5 及其以下结点形成的树」。
+
+![binary_tree_definition](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
+
+<p align="center"> Fig. 子结点与子树 </p>
+
+## 7.1.1. 二叉树常见术语
+
+二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。
+
+- 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
+- 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
+- 结点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根结点所处层为 1 ；
+- 结点「度 Degree」：结点的子结点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
+- 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
+- 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
+- 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
+- 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；
+
+![binary_tree_terminology](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
+
+<p align="center"> Fig. 二叉树的常见术语 </p>
+
+!!! tip "高度与深度的定义"
+
+    值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
+
+## 7.1.2. 二叉树基本操作
+
+**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree.java"
+    // 初始化结点
+    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree.cpp"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化结点
+    TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1->left = n2;
+    n1->right = n3;
+    n2->left = n4;
+    n2->right = n5;
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree.py"
+    """ 初始化二叉树 """
+    # 初始化节点
+    n1 = TreeNode(val=1)
+    n2 = TreeNode(val=2)
+    n3 = TreeNode(val=3)
+    n4 = TreeNode(val=4)
+    n5 = TreeNode(val=5)
+    # 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2
+    n1.right = n3
+    n2.left = n4
+    n2.right = n5
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree.go"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化结点
+    n1 := NewTreeNode(1)
+    n2 := NewTreeNode(2)
+    n3 := NewTreeNode(3)
+    n4 := NewTreeNode(4)
+    n5 := NewTreeNode(5)
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.Left = n2
+    n1.Right = n3
+    n2.Left = n4
+    n2.Right = n5
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="binary_tree.js"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化结点
+    let n1 = new TreeNode(1),
+        n2 = new TreeNode(2),
+        n3 = new TreeNode(3),
+        n4 = new TreeNode(4),
+        n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_tree.ts"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化结点
+    let n1 = new TreeNode(1),
+        n2 = new TreeNode(2),
+        n3 = new TreeNode(3),
+        n4 = new TreeNode(4),
+        n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree.c"
+    
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree.cs"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化结点
+    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree.swift"
+    // 初始化结点
+    let n1 = TreeNode(x: 1)
+    let n2 = TreeNode(x: 2)
+    let n3 = TreeNode(x: 3)
+    let n4 = TreeNode(x: 4)
+    let n5 = TreeNode(x: 5)
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2
+    n1.right = n3
+    n2.left = n4
+    n2.right = n5
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree.zig"
+
+    ```
+
+**插入与删除结点**。与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。
+
+![binary_tree_add_remove](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
+
+<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除结点 </p>
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree.java"
+    TreeNode P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除结点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree.cpp"
+    /* 插入与删除结点 */
+    TreeNode* P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
+    n1->left = P;
+    P->left = n2;
+    // 删除结点 P
+    n1->left = n2;
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree.py"
+    """ 插入与删除结点 """
+    p = TreeNode(0)
+    # 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
+    n1.left = p
+    p.left = n2
+    # 删除节点 P
+    n1.left = n2
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree.go"
+    /* 插入与删除结点 */
+    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
+    p := NewTreeNode(0)
+    n1.Left = p
+    p.Left = n2
+    // 删除结点 P
+    n1.Left = n2
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="binary_tree.js"
+    /* 插入与删除结点 */
+    let P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除结点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_tree.ts"
+    /* 插入与删除结点 */
+    const P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除结点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree.c"
+    
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree.cs"
+    /* 插入与删除结点 */
+    TreeNode P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除结点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree.swift"
+    let P = TreeNode(x: 0)
+    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
+    n1.left = P
+    P.left = n2
+    // 删除结点 P
+    n1.left = n2
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree.zig"
+
+    ```
+
+!!! note
+
+    插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
+
+## 7.1.3. 常见二叉树类型
+
+### 完美二叉树
+
+「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，所有结点的度 = 2 ；若树高度 $= h$ ，则结点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
+
+!!! tip
+
+    在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。
+
+![perfect_binary_tree](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)
+
+### 完全二叉树
+
+「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。
+
+**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
+
+![complete_binary_tree](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
+
+### 完满二叉树
+
+「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。
+
+![full_binary_tree](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)
+
+### 平衡二叉树
+
+「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
+
+![balanced_binary_tree](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)
+
+## 7.1.4. 二叉树的退化
+
+当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
+
+- 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
+- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；
+
+![binary_tree_corner_cases](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)
+
+<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳和最差结构 </p>
+
+如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+|                               | 完美二叉树 | 链表         |
+| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
+| 第 $i$ 层的结点数量    | $2^{i-1}$          | $1$     |
+| 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$          | $1$     |
+| 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$      | $h + 1$     |
+| 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$     |
+
+</div>
+
+## 7.1.5. 二叉树表示方式 *
+
+我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为结点 `TreeNode` ，结点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
+
+那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将结点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父结点索引与子结点索引之间的「映射公式」：**设结点的索引为 $i$ ，则该结点的左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$** 。
+
+**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意结点，我们都可以使用映射公式来访问子结点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
+
+![array_representation_mapping](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)
+
+然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空结点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空结点，并且我们无法单凭序列来猜测空结点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
+
+![array_representation_without_empty](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
+
+为了解决此问题，考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，**即在序列中使用特殊符号来显式地表示“空位”**。如下图所示，这样处理后，序列（数组）就可以唯一表示二叉树了。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    /* 二叉树的数组表示 */
+    // 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
+    Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    /* 二叉树的数组表示 */
+    // 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
+    // 该方法的使用前提是没有结点的值 = INT_MAX
+    vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    """ 二叉树的数组表示 """
+    # 直接使用 None 来表示空位
+    tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title=""
+    
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title=""
+    /* 二叉树的数组表示 */
+    // 直接使用 null 来表示空位
+    let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title=""
+    /* 二叉树的数组表示 */
+    // 直接使用 null 来表示空位
+    let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title=""
+    
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title=""
+    /* 二叉树的数组表示 */
+    // 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
+    int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title=""
+    /* 二叉树的数组表示 */
+    // 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
+    let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title=""
+
+    ```
+
+![array_representation_with_empty](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
+
+回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空结点，并且最底层的结点尽量靠左，因而所有空结点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
+
+![array_representation_complete_binary_tree](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
+
+数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问结点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少结点的数据，空间利用率很低。

build/chapter_tree/binary_tree_traversal.md

@@ -0,0 +1,520 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 7.2. 二叉树遍历
+
+非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
+
+## 7.2.1. 层序遍历
+
+「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
+
+层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。
+
+![binary_tree_bfs](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png)
+
+<p align="center"> Fig. 二叉树的层序遍历 </p>
+
+广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是“先进先出”，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree_bfs.java"
+    /* 层序遍历 */
+    List<Integer> hierOrder(TreeNode root) {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        List<Integer> list = new ArrayList<>();
+        while (!queue.isEmpty()) {
+            TreeNode node = queue.poll();  // 队列出队
+            list.add(node.val);            // 保存结点值
+            if (node.left != null)
+                queue.offer(node.left);    // 左子结点入队
+            if (node.right != null)
+                queue.offer(node.right);   // 右子结点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
+    /* 层序遍历 */
+    vector<int> hierOrder(TreeNode* root) {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        queue<TreeNode*> queue;
+        queue.push(root);
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        vector<int> vec;
+        while (!queue.empty()) {
+            TreeNode* node = queue.front();
+            queue.pop();                 // 队列出队
+            vec.push_back(node->val);    // 保存结点
+            if (node->left != nullptr)
+                queue.push(node->left);  // 左子结点入队
+            if (node->right != nullptr)
+                queue.push(node->right); // 右子结点入队
+        }
+        return vec;
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree_bfs.py"
+    """ 层序遍历 """
+    def hier_order(root: Optional[TreeNode]):
+        # 初始化队列，加入根结点
+        queue = collections.deque()
+        queue.append(root)
+        # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        res = []
+        while queue:
+            node = queue.popleft()       # 队列出队
+            res.append(node.val)         # 保存节点值
+            if node.left is not None:
+                queue.append(node.left)  # 左子结点入队
+            if node.right is not None:
+                queue.append(node.right) # 右子结点入队
+        return res
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree_bfs.go"
+    /* 层序遍历 */
+    func levelOrder(root *TreeNode) []int {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        queue := list.New()
+        queue.PushBack(root)
+        // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
+        nums := make([]int, 0)
+        for queue.Len() > 0 {
+            // poll
+            node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
+            // 保存结点
+            nums = append(nums, node.Val)
+            if node.Left != nil {
+                // 左子结点入队
+                queue.PushBack(node.Left)
+            }
+            if node.Right != nil {
+                // 右子结点入队
+                queue.PushBack(node.Right)
+            }
+        }
+        return nums
+    }
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="binary_tree_bfs.js"
+    /* 层序遍历 */
+    function hierOrder(root) {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        let queue = [root];
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        let list = [];
+        while (queue.length) {
+            let node = queue.shift();  // 队列出队
+            list.push(node.val);          // 保存结点
+            if (node.left)
+                queue.push(node.left);    // 左子结点入队
+            if (node.right)
+                queue.push(node.right);   // 右子结点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
+    /* 层序遍历 */
+    function hierOrder(root: TreeNode | null): number[] {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        const queue = [root];
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        const list: number[] = [];
+        while (queue.length) {
+            let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
+            list.push(node.val); // 保存结点
+            if (node.left) {
+                queue.push(node.left); // 左子结点入队
+            }
+            if (node.right) {
+                queue.push(node.right); // 右子结点入队
+            }
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree_bfs.c"
+    
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree_bfs.cs"
+    /* 层序遍历 */
+    public List<int?> hierOrder(TreeNode root)
+    {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        Queue<TreeNode> queue = new();
+        queue.Enqueue(root);
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        List<int> list = new();
+        while (queue.Count != 0)
+        {
+            TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
+            list.Add(node.val);              // 保存结点值
+            if (node.left != null)
+                queue.Enqueue(node.left);    // 左子结点入队
+            if (node.right != null)
+                queue.Enqueue(node.right);   // 右子结点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree_bfs.swift"
+    /* 层序遍历 */
+    func hierOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        var queue: [TreeNode] = [root]
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        var list: [Int] = []
+        while !queue.isEmpty {
+            let node = queue.removeFirst() // 队列出队
+            list.append(node.val) // 保存结点
+            if let left = node.left {
+                queue.append(left) // 左子结点入队
+            }
+            if let right = node.right {
+                queue.append(right) // 右子结点入队
+            }
+        }
+        return list
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree_bfs.zig"
+
+    ```
+
+## 7.2.2. 前序、中序、后序遍历
+
+相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。
+
+如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
+
+![binary_tree_dfs](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png)
+
+<p align="center"> Fig. 二叉树的前 / 中 / 后序遍历 </p>
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+| 位置       | 含义                                 | 此处访问结点时对应            |
+| ---------- | ------------------------------------ | ----------------------------- |
+| 橙色圆圈处 | 刚进入此结点，即将访问该结点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal  |
+| 蓝色圆圈处 | 已访问完左子树，即将访问右子树       | 中序遍历 In-Order Traversal   |
+| 紫色圆圈处 | 已访问完左子树和右子树，即将返回     | 后序遍历 Post-Order Traversal |
+
+</div>
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree_dfs.java"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.add(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+    
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.add(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+    
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.add(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree_dfs.cpp"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode* root) {
+        if (root == nullptr) return;
+        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+        vec.push_back(root->val);
+        preOrder(root->left);
+        preOrder(root->right);
+    }
+    
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode* root) {
+        if (root == nullptr) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+        inOrder(root->left);
+        vec.push_back(root->val);
+        inOrder(root->right);
+    }
+    
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode* root) {
+        if (root == nullptr) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+        postOrder(root->left);
+        postOrder(root->right);
+        vec.push_back(root->val);
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree_dfs.py"
+    """ 前序遍历 """
+    def pre_order(root: Optional[TreeNode]):
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+        res.append(root.val)
+        pre_order(root=root.left)
+        pre_order(root=root.right)
+
+    """ 中序遍历 """
+    def in_order(root: Optional[TreeNode]):
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+        in_order(root=root.left)
+        res.append(root.val)
+        in_order(root=root.right)
+
+    """ 后序遍历 """
+    def post_order(root: Optional[TreeNode]):
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+        post_order(root=root.left)
+        post_order(root=root.right)
+        res.append(root.val)
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree_dfs.go"
+    /* 前序遍历 */
+    func preOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+        nums = append(nums, node.Val)
+        preOrder(node.Left)
+        preOrder(node.Right)
+    }
+    
+    /* 中序遍历 */
+    func inOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+        inOrder(node.Left)
+        nums = append(nums, node.Val)
+        inOrder(node.Right)
+    }
+    
+    /* 后序遍历 */
+    func postOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+        postOrder(node.Left)
+        postOrder(node.Right)
+        nums = append(nums, node.Val)
+    }
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="binary_tree_dfs.js"
+    /* 前序遍历 */
+    function preOrder(root){
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.push(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+    
+    /* 中序遍历 */
+    function inOrder(root) {
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.push(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+    
+    /* 后序遍历 */
+    function postOrder(root) {
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.push(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_tree_dfs.ts"
+    /* 前序遍历 */
+    function preOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.push(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+    
+    /* 中序遍历 */
+    function inOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.push(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+    
+    /* 后序遍历 */
+    function postOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.push(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree_dfs.c"
+    
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree_dfs.cs"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode? root)
+    {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.Add(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode? root)
+    {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.Add(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode? root)
+    {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.Add(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree_dfs.swift"
+    /* 前序遍历 */
+    func preOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.append(root.val)
+        preOrder(root: root.left)
+        preOrder(root: root.right)
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    func inOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+        inOrder(root: root.left)
+        list.append(root.val)
+        inOrder(root: root.right)
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    func postOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+        postOrder(root: root.left)
+        postOrder(root: root.right)
+        list.append(root.val)
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree_dfs.zig"
+
+    ```
+
+!!! note
+
+    使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。

build/chapter_tree/summary.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 7.5. 小结
+
+- 二叉树是一种非线性数据结构，代表着“一分为二”的分治逻辑。二叉树的结点包含「值」和两个「指针」，分别指向左子结点和右子结点。
+- 选定二叉树中某结点，将其左（右）子结点以下形成的树称为左（右）子树。
+- 二叉树的术语较多，包括根结点、叶结点、层、度、边、高度、深度等。
+- 二叉树的初始化、结点插入、结点删除操作与链表的操作方法类似。
+- 常见的二叉树类型包括完美二叉树、完全二叉树、完满二叉树、平衡二叉树。完美二叉树是理想状态，链表则是退化后的最差状态。
+- 二叉树可以使用数组表示，具体做法是将结点值和空位按照层序遍历的顺序排列，并基于父结点和子结点之间的索引映射公式实现指针。
+
+- 二叉树层序遍历是一种广度优先搜索，体现着“一圈一圈向外”的层进式遍历方式，通常借助队列来实现。
+- 前序、中序、后序遍历是深度优先搜索，体现着“走到头、再回头继续”的回溯遍历方式，通常使用递归实现。
+- 二叉搜索树是一种高效的元素查找数据结构，查找、插入、删除操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。二叉搜索树退化为链表后，各项时间复杂度劣化至 $O(n)$ ，因此如何避免退化是非常重要的课题。
+- AVL 树又称平衡二叉搜索树，其通过旋转操作，使得在不断插入与删除结点后，仍然可以保持二叉树的平衡（不退化）。
+- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除结点后，AVL 树会从底至顶地执行旋转操作，使树恢复平衡。