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81
build/chapter_hashing/hash_collision.md Normal file
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@@ -0,0 +1,81 @@
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comments: true
---
# 6.2. 哈希冲突
理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，往往存在向哈希函数输入不同的 key 而产生相同输出的情况，这种情况被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突会导致查询结果错误，从而严重影响哈希表的可用性。
那么，为什么会出现哈希冲突呢？本质上看，**由于哈希函数的输入空间往往远大于输出空间**，因此不可避免地会出现多个输入产生相同输出的情况，即为哈希冲突。比如，输入空间是全体整数，输出空间是一个固定大小的桶（数组）的索引范围，那么必定会有多个整数同时映射到一个桶索引。
为了缓解哈希冲突，一方面，我们可以通过「哈希表扩容」来减小冲突概率。极端情况下，当输入空间和输出空间大小相等时，哈希表就等价于数组了，可谓“大力出奇迹”。
另一方面，**考虑通过优化数据结构以缓解哈希冲突**，常见的方法有「链式地址」和「开放寻址」。
## 6.2.1. 哈希表扩容
「负载因子 Load Factor」定义为 **哈希表中元素数量除以桶槽数量（即数组大小）**，代表哈希冲突的严重程度。
**负载因子常用作哈希表扩容的触发条件**。比如在 Java 中，当负载因子 $> 0.75$ 时则触发扩容，将 HashMap 大小扩充至原先的 $2$ 倍。
与数组扩容类似，**哈希表扩容操作的开销很大**，因为需要将所有键值对从原哈希表依次移动至新哈希表。
## 6.2.2. 链式地址
在原始哈希表中，桶内的每个地址只能存储一个元素（即键值对）。**考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中**。
![hash_collision_chaining](hash_collision.assets/hash_collision_chaining.png)
链式地址下，哈希表操作方法为：
- **查询元素**：先将 key 输入到哈希函数得到桶内索引，即可访问链表头结点，再通过遍历链表查找对应 value 。
- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头部，再将结点（即键值对）添加到链表头部即可。
- **删除元素**：同样先根据哈希函数结果访问链表头部，再遍历链表查找对应结点，删除之即可。
链式地址虽然解决了哈希冲突问题，但仍存在局限性，包括：
- **占用空间变大**，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间；
- **查询效率降低**，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；
为了缓解时间效率问题，**可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」**，将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
## 6.2.3. 开放寻址
「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 **线性探测、平方探测、多次哈希**。
### 线性探测
「线性探测」使用固定步长的线性查找来解决哈希冲突。
**插入元素**：如果出现哈希冲突，则从冲突位置向后线性遍历（步长一般取 1 ），直到找到一个空位，则将元素插入到该空位中。
**查找元素**：若出现哈希冲突，则使用相同步长执行线性查找，会遇到两种情况：
1. 找到对应元素，返回 value 即可；
2. 若遇到空位，则说明查找键值对不在哈希表中；
![hash_collision_linear_probing](hash_collision.assets/hash_collision_linear_probing.png)
线性探测存在以下缺陷：
- **不能直接删除元素**。删除元素会导致桶内出现一个空位，在查找其他元素时，该空位有可能导致程序认为元素不存在（即上述第 `2.` 种情况）。因此需要借助一个标志位来标记删除元素。
- **容易产生聚集**。桶内被占用的连续位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促进这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率的劣化。
### 多次哈希
顾名思义，「多次哈希」的思路是使用多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。
**插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推……直到找到空位后插入元素。
**查找元素**：以相同的哈希函数顺序查找，存在两种情况：
1. 找到目标元素，则返回之；
2. 到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中无此元素；
相比于「线性探测」，「多次哈希」方法更不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了额外计算量。
!!! note "工业界方案"
Java 采用「链式地址」。在 JDK 1.8 之后，HashMap 内数组长度大于 64 时，长度大于 8 的链表会被转化为「红黑树」，以提升查找性能。
Python 采用「开放寻址」。字典 dict 使用伪随机数进行探测。

887
build/chapter_hashing/hash_map.md Executable file
View File

@@ -0,0 +1,887 @@
---
comments: true
---
# 6.1. 哈希表
哈希表通过建立「键 key」和「值 value」之间的映射，实现高效的元素查找。具体地，输入一个 key ，在哈希表中查询并获取 value ，时间复杂度为 $O(1)$ 。
例如，给定一个包含 $n$ 个学生的数据库，每个学生有“姓名 `name` ”和“学号 `id` ”两项数据，希望实现一个查询功能：**输入一个学号，返回对应的姓名**，则可以使用哈希表实现。
![hash_map](hash_map.assets/hash_map.png)
<p align="center"> Fig. 哈希表抽象表示 </p>
## 6.1.1. 哈希表效率
除了哈希表之外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能：
1. **无序数组**：每个元素为 `[学号, 姓名]` ；
2. **有序数组**：将 `1.` 中的数组按照学号从小到大排序；
3. **链表**：每个结点的值为 `[学号, 姓名]` ；
4. **二叉搜索树**：每个结点的值为 `[学号, 姓名]` ，根据学号大小来构建树；
使用上述方法，各项操作的时间复杂度如下表所示（在此不做赘述，详解可见 [二叉搜索树章节](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_search_tree/#_6)）。无论是查找元素、还是增删元素，哈希表的时间复杂度都是 $O(1)$ ，全面胜出！
<div class="center-table" markdown>
| | 无序数组 | 有序数组 | 链表 | 二叉搜索树 | 哈希表 |
| -------- | -------- | ----------- | ------ | ----------- | ------ |
| 查找元素 | $O(n)$ | $O(\log n)$ | $O(n)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
| 插入元素 | $O(1)$ | $O(n)$ | $O(1)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
| 删除元素 | $O(n)$ | $O(n)$ | $O(n)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
</div>
## 6.1.2. 哈希表常用操作
哈希表的基本操作包括 **初始化、查询操作、添加与删除键值对**。
=== "Java"
```java title="hash_map.java"
/* 初始化哈希表 */
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.put(12836, "小哈");
map.put(15937, "小啰");
map.put(16750, "小算");
map.put(13276, "小法");
map.put(10583, "小鸭");
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
String name = map.get(15937);
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.remove(10583);
```
=== "C++"
```cpp title="hash_map.cpp"
/* 初始化哈希表 */
unordered_map<int, string> map;
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map[12836] = "小哈";
map[15937] = "小啰";
map[16750] = "小算";
map[13276] = "小法";
map[10583] = "小鸭";
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
string name = map[15937];
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.erase(10583);
```
=== "Python"
```python title="hash_map.py"
""" 初始化哈希表 """
mapp = {}
""" 添加操作 """
# 在哈希表中添加键值对 (key, value)
mapp[12836] = "小哈"
mapp[15937] = "小啰"
mapp[16750] = "小算"
mapp[13276] = "小法"
mapp[10583] = "小鸭"
""" 查询操作 """
# 向哈希表输入键 key ，得到值 value
name = mapp[15937]
""" 删除操作 """
# 在哈希表中删除键值对 (key, value)
mapp.pop(10583)
```
=== "Go"
```go title="hash_map.go"
/* 初始化哈希表 */
mapp := make(map[int]string)
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
mapp[12836] = "小哈"
mapp[15937] = "小啰"
mapp[16750] = "小算"
mapp[13276] = "小法"
mapp[10583] = "小鸭"
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
name := mapp[15937]
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
delete(mapp, 10583)
```
=== "JavaScript"
```js title="hash_map.js"
/* 初始化哈希表 */
const map = new ArrayHashMap();
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.set(12836, '小哈');
map.set(15937, '小啰');
map.set(16750, '小算');
map.set(13276, '小法');
map.set(10583, '小鸭');
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
let name = map.get(15937);
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.delete(10583);
```
=== "TypeScript"
```typescript title="hash_map.ts"
/* 初始化哈希表 */
const map = new Map<number, string>();
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.set(12836, '小哈');
map.set(15937, '小啰');
map.set(16750, '小算');
map.set(13276, '小法');
map.set(10583, '小鸭');
console.info('\n添加完成后，哈希表为\nKey -> Value');
console.info(map);
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
let name = map.get(15937);
console.info('\n输入学号 15937 ，查询到姓名 ' + name);
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.delete(10583);
console.info('\n删除 10583 后，哈希表为\nKey -> Value');
console.info(map);
```
=== "C"
```c title="hash_map.c"
```
=== "C#"
```csharp title="hash_map.cs"
/* 初始化哈希表 */
Dictionary<int, String> map = new ();
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.Add(12836, "小哈");
map.Add(15937, "小啰");
map.Add(16750, "小算");
map.Add(13276, "小法");
map.Add(10583, "小鸭");
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
String name = map[15937];
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.Remove(10583);
```
=== "Swift"
```swift title="hash_map.swift"
/* 初始化哈希表 */
var map: [Int: String] = [:]
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map[12836] = "小哈"
map[15937] = "小啰"
map[16750] = "小算"
map[13276] = "小法"
map[10583] = "小鸭"
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
let name = map[15937]!
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.removeValue(forKey: 10583)
```
=== "Zig"
```zig title="hash_map.zig"
```
遍历哈希表有三种方式，即 **遍历键值对、遍历键、遍历值**。
=== "Java"
```java title="hash_map.java"
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (Map.Entry <Integer, String> kv: map.entrySet()) {
System.out.println(kv.getKey() + " -> " + kv.getValue());
}
// 单独遍历键 key
for (int key: map.keySet()) {
System.out.println(key);
}
// 单独遍历值 value
for (String val: map.values()) {
System.out.println(val);
}
```
=== "C++"
```cpp title="hash_map.cpp"
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (auto kv: map) {
cout << kv.first << " -> " << kv.second << endl;
}
// 单独遍历键 key
for (auto key: map) {
cout << key.first << endl;
}
// 单独遍历值 value
for (auto val: map) {
cout << val.second << endl;
}
```
=== "Python"
```python title="hash_map.py"
""" 遍历哈希表 """
# 遍历键值对 key->value
for key, value in mapp.items():
print(key, "->", value)
# 单独遍历键 key
for key in mapp.keys():
print(key)
# 单独遍历值 value
for value in mapp.values():
print(value)
```
=== "Go"
```go title="hash_map_test.go"
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for key, value := range mapp {
fmt.Println(key, "->", value)
}
// 单独遍历键 key
for key := range mapp {
fmt.Println(key)
}
// 单独遍历值 value
for _, value := range mapp {
fmt.Println(value)
}
```
=== "JavaScript"
```js title="hash_map.js"
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (const entry of map.entries()) {
if (!entry) continue;
console.info(entry.key + ' -> ' + entry.val);
}
// 单独遍历键 key
for (const key of map.keys()) {
console.info(key);
}
// 单独遍历值 value
for (const val of map.values()) {
console.info(val);
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="hash_map.ts"
/* 遍历哈希表 */
console.info('\n遍历键值对 Key->Value');
for (const [k, v] of map.entries()) {
console.info(k + ' -> ' + v);
}
console.info('\n单独遍历键 Key');
for (const k of map.keys()) {
console.info(k);
}
console.info('\n单独遍历值 Value');
for (const v of map.values()) {
console.info(v);
}
```
=== "C"
```c title="hash_map.c"
```
=== "C#"
```csharp title="hash_map.cs"
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 Key->Value
foreach (var kv in map) {
Console.WriteLine(kv.Key + " -> " + kv.Value);
}
// 单独遍历键 key
foreach (int key in map.Keys) {
Console.WriteLine(key);
}
// 单独遍历值 value
foreach (String val in map.Values) {
Console.WriteLine(val);
}
```
=== "Swift"
```swift title="hash_map.swift"
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 Key->Value
for (key, value) in map {
print("\(key) -> \(value)")
}
// 单独遍历键 Key
for key in map.keys {
print(key)
}
// 单独遍历值 Value
for value in map.values {
print(value)
}
```
=== "Zig"
```zig title="hash_map.zig"
```
## 6.1.3. 哈希函数
哈希表中存储元素的数据结构被称为「桶 Bucket」，底层实现可能是数组、链表、二叉树（红黑树），或是它们的组合。
最简单地，**我们可以仅用一个「数组」来实现哈希表**。首先，将所有 value 放入数组中，那么每个 value 在数组中都有唯一的「索引」。显然，访问 value 需要给定索引，而为了 **建立 key 和索引之间的映射关系**，我们需要使用「哈希函数 Hash Function」。
设数组为 `bucket` ，哈希函数为 `f(x)` ，输入键为 `key` 。那么获取 value 的步骤为：
1. 通过哈希函数计算出索引，即 `index = f(key)` ；
2. 通过索引在数组中获取值，即 `value = bucket[index]` ；
以上述学生数据 `key 学号 -> value 姓名` 为例，我们可以将「哈希函数」设计为
$$
f(x) = x \% 100
$$
![hash_function](hash_map.assets/hash_function.png)
<p align="center"> Fig. 哈希函数 </p>
=== "Java"
```java title="array_hash_map.java"
/* 键值对 int->String */
class Entry {
public int key; // 键
public String val; // 值
public Entry(int key, String val) {
this.key = key;
this.val = val;
}
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private List<Entry> bucket;
public ArrayHashMap() {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
bucket = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < 100; i++) {
bucket.add(null);
}
}
/* 哈希函数 */
private int hashFunc(int key) {
int index = key % 100;
return index;
}
/* 查询操作 */
public String get(int key) {
int index = hashFunc(key);
Entry pair = bucket.get(index);
if (pair == null) return null;
return pair.val;
}
/* 添加操作 */
public void put(int key, String val) {
Entry pair = new Entry(key, val);
int index = hashFunc(key);
bucket.set(index, pair);
}
/* 删除操作 */
public void remove(int key) {
int index = hashFunc(key);
// 置为 null，代表删除
bucket.set(index, null);
}
}
```
=== "C++"
```cpp title="array_hash_map.cpp"
/* 键值对 int->String */
struct Entry {
public:
int key;
string val;
Entry(int key, string val) {
this->key = key;
this->val = val;
}
};
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private:
vector<Entry*> bucket;
public:
ArrayHashMap() {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
bucket= vector<Entry*>(100);
}
/* 哈希函数 */
int hashFunc(int key) {
int index = key % 100;
return index;
}
/* 查询操作 */
string get(int key) {
int index = hashFunc(key);
Entry* pair = bucket[index];
return pair->val;
}
/* 添加操作 */
void put(int key, string val) {
Entry* pair = new Entry(key, val);
int index = hashFunc(key);
bucket[index] = pair;
}
/* 删除操作 */
void remove(int key) {
int index = hashFunc(key);
// 置为 nullptr ，代表删除
bucket[index] = nullptr;
}
};
```
=== "Python"
```python title="array_hash_map.py"
""" 键值对 int->String """
class Entry:
def __init__(self, key, val):
self.key = key
self.val = val
""" 基于数组简易实现的哈希表 """
class ArrayHashMap:
def __init__(self):
# 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
self.bucket = [None] * 100
""" 哈希函数 """
def hash_func(self, key):
index = key % 100
return index
""" 查询操作 """
def get(self, key):
index = self.hash_func(key)
pair = self.bucket[index]
if pair is None:
return None
return pair.val
""" 添加操作 """
def put(self, key, val):
pair = Entry(key, val)
index = self.hash_func(key)
self.bucket[index] = pair
""" 删除操作 """
def remove(self, key):
index = self.hash_func(key)
# 置为 None ，代表删除
self.bucket[index] = None
""" 获取所有键值对 """
def entry_set(self):
result = []
for pair in self.bucket:
if pair is not None:
result.append(pair)
return result
""" 获取所有键 """
def key_set(self):
result = []
for pair in self.bucket:
if pair is not None:
result.append(pair.key)
return result
""" 获取所有值 """
def value_set(self):
result = []
for pair in self.bucket:
if pair is not None:
result.append(pair.val)
return result
""" 打印哈希表 """
def print(self):
for pair in self.bucket:
if pair is not None:
print(pair.key, "->", pair.val)
```
=== "Go"
```go title="array_hash_map.go"
/* 键值对 int->String */
type entry struct {
key int
val string
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
type arrayHashMap struct {
bucket []*entry
}
func newArrayHashMap() *arrayHashMap {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
bucket := make([]*entry, 100)
return &arrayHashMap{bucket: bucket}
}
/* 哈希函数 */
func (a *arrayHashMap) hashFunc(key int) int {
index := key % 100
return index
}
/* 查询操作 */
func (a *arrayHashMap) get(key int) string {
index := a.hashFunc(key)
pair := a.bucket[index]
if pair == nil {
return "Not Found"
}
return pair.val
}
/* 添加操作 */
func (a *arrayHashMap) put(key int, val string) {
pair := &entry{key: key, val: val}
index := a.hashFunc(key)
a.bucket[index] = pair
}
/* 删除操作 */
func (a *arrayHashMap) remove(key int) {
index := a.hashFunc(key)
// 置为 nil ，代表删除
a.bucket[index] = nil
}
```
=== "JavaScript"
```js title="array_hash_map.js"
/* 键值对 Number -> String */
class Entry {
constructor(key, val) {
this.key = key;
this.val = val;
}
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
#bucket;
constructor() {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
this.#bucket = new Array(100).fill(null);
}
/* 哈希函数 */
#hashFunc(key) {
return key % 100;
}
/* 查询操作 */
get(key) {
let index = this.#hashFunc(key);
let entry = this.#bucket[index];
if (entry === null) return null;
return entry.val;
}
/* 添加操作 */
set(key, val) {
let index = this.#hashFunc(key);
this.#bucket[index] = new Entry(key, val);
}
/* 删除操作 */
delete(key) {
let index = this.#hashFunc(key);
// 置为 null ，代表删除
this.#bucket[index] = null;
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="array_hash_map.ts"
/* 键值对 Number -> String */
class Entry {
public key: number;
public val: string;
constructor(key: number, val: string) {
this.key = key;
this.val = val;
}
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private readonly bucket: (Entry | null)[];
constructor() {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
this.bucket = (new Array(100)).fill(null);
}
/* 哈希函数 */
private hashFunc(key: number): number {
return key % 100;
}
/* 查询操作 */
public get(key: number): string | null {
let index = this.hashFunc(key);
let entry = this.bucket[index];
if (entry === null) return null;
return entry.val;
}
/* 添加操作 */
public set(key: number, val: string) {
let index = this.hashFunc(key);
this.bucket[index] = new Entry(key, val);
}
/* 删除操作 */
public delete(key: number) {
let index = this.hashFunc(key);
// 置为 null ，代表删除
this.bucket[index] = null;
}
}
```
=== "C"
```c title="array_hash_map.c"
```
=== "C#"
```csharp title="array_hash_map.cs"
/* 键值对 int->String */
class Entry
{
public int key;
public String val;
public Entry(int key, String val)
{
this.key = key;
this.val = val;
}
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap
{
private List<Entry?> bucket;
public ArrayHashMap()
{
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
bucket = new ();
for (int i = 0; i < 100; i++)
{
bucket.Add(null);
}
}
/* 哈希函数 */
private int hashFunc(int key)
{
int index = key % 100;
return index;
}
/* 查询操作 */
public String? get(int key)
{
int index = hashFunc(key);
Entry? pair = bucket[index];
if (pair == null) return null;
return pair.val;
}
/* 添加操作 */
public void put(int key, String val)
{
Entry pair = new Entry(key, val);
int index = hashFunc(key);
bucket[index]=pair;
}
/* 删除操作 */
public void remove(int key)
{
int index = hashFunc(key);
// 置为 null ，代表删除
bucket[index]=null;
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="array_hash_map.swift"
/* 键值对 int->String */
class Entry {
var key: Int
var val: String
init(key: Int, val: String) {
self.key = key
self.val = val
}
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private var bucket: [Entry?] = []
init() {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
for _ in 0 ..< 100 {
bucket.append(nil)
}
}
/* 哈希函数 */
private func hashFunc(key: Int) -> Int {
let index = key % 100
return index
}
/* 查询操作 */
func get(key: Int) -> String? {
let index = hashFunc(key: key)
let pair = bucket[index]
return pair?.val
}
/* 添加操作 */
func put(key: Int, val: String) {
let pair = Entry(key: key, val: val)
let index = hashFunc(key: key)
bucket[index] = pair
}
/* 删除操作 */
func remove(key: Int) {
let index = hashFunc(key: key)
// 置为 nil ，代表删除
bucket[index] = nil
}
}
```
=== "Zig"
```zig title="array_hash_map.zig"
```
## 6.1.4. 哈希冲突
细心的同学可能会发现，**哈希函数 $f(x) = x \% 100$ 会在某些情况下失效**。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 $12836$ 和 $20336$ ，则有
$$
f(12836) = f(20336) = 36
$$
两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。
![hash_collision](hash_map.assets/hash_collision.png)
<p align="center"> Fig. 哈希冲突 </p>
综上所述，一个优秀的「哈希函数」应该具备以下特性：
- 尽量少地发生哈希冲突；
- 时间复杂度 $O(1)$ ，计算尽可能高效；
- 空间使用率高，即“键值对占用空间 / 哈希表总占用空间”尽可能大；

5
build/chapter_hashing/summary.md Normal file
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@@ -0,0 +1,5 @@
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comments: true
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# 6.3. 小结