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docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md

@@ -192,8 +192,8 @@ $$
 
 为此，我们需要扩展状态定义：**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶、并且上一轮跳了 $j$ 阶**，其中 $j \in \{1, 2\}$ 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳：
 
-- 当 $j$ 等于 $1$ ，即上一轮跳了 $1$ 阶时，这一轮只能选择跳 $2$ 阶；
-- 当 $j$ 等于 $2$ ，即上一轮跳了 $2$ 阶时，这一轮可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶；
+- 当 $j$ 等于 $1$ ，即上一轮跳了 $1$ 阶时，这一轮只能选择跳 $2$ 阶。
+- 当 $j$ 等于 $2$ ，即上一轮跳了 $2$ 阶时，这一轮可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶。
 
 在该定义下，$dp[i, j]$ 表示状态 $[i, j]$ 对应的方案数。在该定义下的状态转移方程为：
 

docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

@@ -93,10 +93,10 @@ $$
 
 从状态 $[i, j]$ 开始搜索，不断分解为更小的状态 $[i-1, j]$ 和 $[i, j-1]$ ，包括以下递归要素：
 
-- **递归参数**：状态 $[i, j]$ ；
-- **返回值**：从 $[0, 0]$ 到 $[i, j]$ 的最小路径和 $dp[i, j]$ ；
-- **终止条件**：当 $i = 0$ 且 $j = 0$ 时，返回代价 $grid[0, 0]$ ；
-- **剪枝**：当 $i < 0$ 时或 $j < 0$ 时索引越界，此时返回代价 $+\infty$ ，代表不可行；
+- **递归参数**：状态 $[i, j]$ 。
+- **返回值**：从 $[0, 0]$ 到 $[i, j]$ 的最小路径和 $dp[i, j]$ 。
+- **终止条件**：当 $i = 0$ 且 $j = 0$ 时，返回代价 $grid[0, 0]$ 。
+- **剪枝**：当 $i < 0$ 时或 $j < 0$ 时索引越界，此时返回代价 $+\infty$ ，代表不可行。
 
 === "Java"
 

docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md

@@ -26,8 +26,8 @@
 
 我们希望在编辑操作的过程中，问题的规模逐渐缩小，这样才能构建子问题。设字符串 $s$ 和 $t$ 的长度分别为 $n$ 和 $m$ ，我们先考虑两字符串尾部的字符 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ ：
 
-- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同，我们可以跳过它们，直接考虑 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ ;
-- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同，我们需要对 $s$ 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题；
+- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同，我们可以跳过它们，直接考虑 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ 。
+- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同，我们需要对 $s$ 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题。
 
 也就是说，我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 $s$ , $t$ 中考虑的第 $i$ , $j$ 个字符，记为 $[i, j]$ 。
 
@@ -39,9 +39,9 @@
 
 考虑子问题 $dp[i, j]$ ，其对应的两个字符串的尾部字符为 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ ，可根据不同编辑操作分为三种情况：
 
-1. 在 $s[i-1]$ 之后添加 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i, j-1]$ ；
-2. 删除 $s[i-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j]$ ；
-3. 将 $s[i-1]$ 替换为 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j-1]$ ；
+1. 在 $s[i-1]$ 之后添加 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i, j-1]$ 。
+2. 删除 $s[i-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j]$ 。
+3. 将 $s[i-1]$ 替换为 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j-1]$ 。
 
 ![编辑距离的状态转移](edit_distance_problem.assets/edit_distance_state_transfer.png)
 

docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md

@@ -231,8 +231,8 @@ $$
 
 为了提升算法效率，**我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次**。为此，我们声明一个数组 `mem` 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中这样做：
 
-1. 当首次计算 $dp[i]$ 时，我们将其记录至 `mem[i]` ，以便之后使用；
-2. 当再次需要计算 $dp[i]$ 时，我们便可直接从 `mem[i]` 中获取结果，从而将重叠子问题剪枝；
+1. 当首次计算 $dp[i]$ 时，我们将其记录至 `mem[i]` ，以便之后使用。
+2. 当再次需要计算 $dp[i]$ 时，我们便可直接从 `mem[i]` 中获取结果，从而将重叠子问题剪枝。
 
 === "Java"
 
@@ -404,9 +404,9 @@ $$
 
 总结以上，动态规划的常用术语包括：
 
-- 将数组 `dp` 称为「$dp$ 表」，$dp[i]$ 表示状态 $i$ 对应子问题的解；
-- 将最小子问题对应的状态（即第 $1$ , $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」；
-- 将递推公式 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 称为「状态转移方程」；
+- 将数组 `dp` 称为「$dp$ 表」，$dp[i]$ 表示状态 $i$ 对应子问题的解。
+- 将最小子问题对应的状态（即第 $1$ , $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」。
+- 将递推公式 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 称为「状态转移方程」。
 
 ![爬楼梯的动态规划过程](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dp.png)
 

docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -28,8 +28,8 @@
 
 当我们做出物品 $i$ 的决策后，剩余的是前 $i-1$ 个物品的决策。因此，状态转移分为两种情况：
 
-- **不放入物品 $i$** ：背包容量不变，状态转移至 $[i-1, c]$ ；
-- **放入物品 $i$** ：背包容量减小 $wgt[i-1]$ ，价值增加 $val[i-1]$ ，状态转移至 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ ；
+- **不放入物品 $i$** ：背包容量不变，状态转移至 $[i-1, c]$ 。
+- **放入物品 $i$** ：背包容量减小 $wgt[i-1]$ ，价值增加 $val[i-1]$ ，状态转移至 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 。
 
 上述的状态转移向我们揭示了本题的最优子结构：**最大价值 $dp[i, c]$ 等于不放入物品 $i$ 和放入物品 $i$ 两种方案中的价值更大的那一个**。由此可推出状态转移方程：
 
@@ -51,10 +51,10 @@ $$
 
 搜索代码包含以下要素：
 
-- **递归参数**：状态 $[i, c]$ ；
-- **返回值**：子问题的解 $dp[i, c]$ ；
-- **终止条件**：当物品编号越界 $i = 0$ 或背包剩余容量为 $0$ 时，终止递归并返回价值 $0$ ；
-- **剪枝**：若当前物品重量超出背包剩余容量，则只能不放入背包；
+- **递归参数**：状态 $[i, c]$ 。
+- **返回值**：子问题的解 $dp[i, c]$ 。
+- **终止条件**：当物品编号越界 $i = 0$ 或背包剩余容量为 $0$ 时，终止递归并返回价值 $0$ 。
+- **剪枝**：若当前物品重量超出背包剩余容量，则只能不放入背包。
 
 === "Java"
 

docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md

@@ -12,13 +12,13 @@
 
 完全背包和 0-1 背包问题非常相似，**区别仅在于不限制物品的选择次数**。
 
-- 在 0-1 背包中，每个物品只有一个，因此将物品 $i$ 放入背包后，只能从前 $i-1$ 个物品中选择；
-- 在完全背包中，每个物品有无数个，因此将物品 $i$ 放入背包后，**仍可以从前 $i$ 个物品中选择**；
+- 在 0-1 背包中，每个物品只有一个，因此将物品 $i$ 放入背包后，只能从前 $i-1$ 个物品中选择。
+- 在完全背包中，每个物品有无数个，因此将物品 $i$ 放入背包后，**仍可以从前 $i$ 个物品中选择**。
 
 这就导致了状态转移的变化，对于状态 $[i, c]$ 有：
 
-- **不放入物品 $i$** ：与 0-1 背包相同，转移至 $[i-1, c]$ ；
-- **放入物品 $i$** ：与 0-1 背包不同，转移至 $[i, c-wgt[i-1]]$ ；
+- **不放入物品 $i$** ：与 0-1 背包相同，转移至 $[i-1, c]$ 。
+- **放入物品 $i$** ：与 0-1 背包不同，转移至 $[i, c-wgt[i-1]]$ 。
 
 从而状态转移方程变为：
 
@@ -200,9 +200,9 @@ $$
 
 **零钱兑换可以看作是完全背包的一种特殊情况**，两者具有以下联系与不同点：
 
-- 两道题可以相互转换，“物品”对应于“硬币”、“物品重量”对应于“硬币面值”、“背包容量”对应于“目标金额”；
-- 优化目标相反，背包问题是要最大化物品价值，零钱兑换问题是要最小化硬币数量；
-- 背包问题是求“不超过”背包容量下的解，零钱兑换是求“恰好”凑到目标金额的解；
+- 两道题可以相互转换，“物品”对应于“硬币”、“物品重量”对应于“硬币面值”、“背包容量”对应于“目标金额”。
+- 优化目标相反，背包问题是要最大化物品价值，零钱兑换问题是要最小化硬币数量。
+- 背包问题是求“不超过”背包容量下的解，零钱兑换是求“恰好”凑到目标金额的解。
 
 **第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表**
 
@@ -214,8 +214,8 @@ $$
 
 与完全背包的状态转移方程基本相同，不同点在于：
 
-- 本题要求最小值，因此需将运算符 $\max()$ 更改为 $\min()$ ；
-- 优化主体是硬币数量而非商品价值，因此在选中硬币时执行 $+1$ 即可；
+- 本题要求最小值，因此需将运算符 $\max()$ 更改为 $\min()$ 。
+- 优化主体是硬币数量而非商品价值，因此在选中硬币时执行 $+1$ 即可。
 
 $$
 dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)