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docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

@@ -30,8 +30,8 @@
 
 从原问题 $f(0, n-1)$ 为起始点，二分查找的分治步骤为：
 
-1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间；
-2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ ；
+1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间。
+2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
 3. 循环第 `1.` , `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。
 
 下图展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。

docs/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md

@@ -20,14 +20,14 @@
 
 根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分：
 
-- 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如上图 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` ；
-- 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如上图 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` ；
+- 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如上图 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
+- 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如上图 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
 
 以上图数据为例，我们可以通过以下步骤得到上述的划分结果：
 
-1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值；
-2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` ；
-3. 根据 `inorder` 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` ；
+1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
+2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。
+3. 根据 `inorder` 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
 
 ![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
 
@@ -35,9 +35,9 @@
 
 根据以上划分方法，**我们已经得到根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：
 
-- 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ ；
-- 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ ；
-- 将当前树在 `inorder` 中的索引区间记为 $[l, r]$ ；
+- 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ 。
+- 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ 。
+- 将当前树在 `inorder` 中的索引区间记为 $[l, r]$ 。
 
 如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引，以及子树在 `inorder` 中的索引区间。
 

docs/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md

@@ -2,8 +2,8 @@
 
 「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：
 
-1. **分（划分阶段）**：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止；
-2. **治（合并阶段）**：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解；
+1. **分（划分阶段）**：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。
+2. **治（合并阶段）**：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。
 
 已介绍过的「归并排序」是分治策略的典型应用之一，它的分治策略为：
 
@@ -22,9 +22,9 @@
 
 显然归并排序，满足以上三条判断依据：
 
-1. 递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）；
-2. 每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）；
-3. 两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）；
+1. 递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。
+2. 每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。
+3. 两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。
 
 ## 通过分治提升效率
 

docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md

@@ -6,9 +6,9 @@
 
     给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：
     
-    1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入；
-    2. 每次只能移动一个圆盘；
-    3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上；
+    1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。
+    2. 每次只能移动一个圆盘。
+    3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
 
 ![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png)
 
@@ -26,9 +26,9 @@
 
 对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**，包括三步：
 
-1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` ；
-2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` ；
-3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` ；
+1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
+2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
+3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。
 
 解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。
 
@@ -48,9 +48,9 @@
 
 对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，因此可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行以下步骤：
 
-1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` ；
-2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` ；
-3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` ；
+1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` 。
+2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
+3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` 。
 
 这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
 
@@ -70,9 +70,9 @@
 
 至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为：
 
-1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` ；
-2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` ；
-3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` ；
+1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
+2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。
+3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` 。
 
 对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。