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* 數組 -> 陣列

* 係統 -> 系統
斐波那契數列 -> 費波那契數列
運算元量 -> 運算量
引數 -> 參數

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歸併排序 -> 合併排序
范式 -> 範式

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反碼 -> 一補數
補碼 -> 二補數
列列尾部 -> 佇列尾部
區域性性 -> 區域性
一摞 -> 一疊

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推匯 -> 推導

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斐波那契數列 -> 費波那契數列
運算元量 -> 運算量
引數 -> 參數

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范式 -> 範式

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補碼 -> 二補數
列列尾部 -> 佇列尾部
區域性性 -> 區域性
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zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_backtrack.py

@@ -0,0 +1,37 @@
+"""
+File: climbing_stairs_backtrack.py
+Created Time: 2023-06-30
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def backtrack(choices: list[int], state: int, n: int, res: list[int]) -> int:
+    """回溯"""
+    # 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
+    if state == n:
+        res[0] += 1
+    # 走訪所有選擇
+    for choice in choices:
+        # 剪枝：不允許越過第 n 階
+        if state + choice > n:
+            continue
+        # 嘗試：做出選擇，更新狀態
+        backtrack(choices, state + choice, n, res)
+        # 回退
+
+
+def climbing_stairs_backtrack(n: int) -> int:
+    """爬樓梯：回溯"""
+    choices = [1, 2]  # 可選擇向上爬 1 階或 2 階
+    state = 0  # 從第 0 階開始爬
+    res = [0]  # 使用 res[0] 記錄方案數量
+    backtrack(choices, state, n, res)
+    return res[0]
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 9
+
+    res = climbing_stairs_backtrack(n)
+    print(f"爬 {n} 階樓梯共有 {res} 種方案")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_constraint_dp.py

@@ -0,0 +1,29 @@
+"""
+File: climbing_stairs_constraint_dp.py
+Created Time: 2023-06-30
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def climbing_stairs_constraint_dp(n: int) -> int:
+    """帶約束爬樓梯：動態規劃"""
+    if n == 1 or n == 2:
+        return 1
+    # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+    dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
+    # 初始狀態：預設最小子問題的解
+    dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
+    dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
+    # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+    for i in range(3, n + 1):
+        dp[i][1] = dp[i - 1][2]
+        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
+    return dp[n][1] + dp[n][2]
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 9
+
+    res = climbing_stairs_constraint_dp(n)
+    print(f"爬 {n} 階樓梯共有 {res} 種方案")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dfs.py

@@ -0,0 +1,28 @@
+"""
+File: climbing_stairs_dfs.py
+Created Time: 2023-06-30
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def dfs(i: int) -> int:
+    """搜尋"""
+    # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+    if i == 1 or i == 2:
+        return i
+    # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+    count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
+    return count
+
+
+def climbing_stairs_dfs(n: int) -> int:
+    """爬樓梯：搜尋"""
+    return dfs(n)
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 9
+
+    res = climbing_stairs_dfs(n)
+    print(f"爬 {n} 階樓梯共有 {res} 種方案")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dfs_mem.py

@@ -0,0 +1,35 @@
+"""
+File: climbing_stairs_dfs_mem.py
+Created Time: 2023-06-30
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def dfs(i: int, mem: list[int]) -> int:
+    """記憶化搜尋"""
+    # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+    if i == 1 or i == 2:
+        return i
+    # 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
+    if mem[i] != -1:
+        return mem[i]
+    # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+    count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
+    # 記錄 dp[i]
+    mem[i] = count
+    return count
+
+
+def climbing_stairs_dfs_mem(n: int) -> int:
+    """爬樓梯：記憶化搜尋"""
+    # mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
+    mem = [-1] * (n + 1)
+    return dfs(n, mem)
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 9
+
+    res = climbing_stairs_dfs_mem(n)
+    print(f"爬 {n} 階樓梯共有 {res} 種方案")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dp.py

@@ -0,0 +1,40 @@
+"""
+File: climbing_stairs_dp.py
+Created Time: 2023-06-30
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def climbing_stairs_dp(n: int) -> int:
+    """爬樓梯：動態規劃"""
+    if n == 1 or n == 2:
+        return n
+    # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+    dp = [0] * (n + 1)
+    # 初始狀態：預設最小子問題的解
+    dp[1], dp[2] = 1, 2
+    # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+    for i in range(3, n + 1):
+        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
+    return dp[n]
+
+
+def climbing_stairs_dp_comp(n: int) -> int:
+    """爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃"""
+    if n == 1 or n == 2:
+        return n
+    a, b = 1, 2
+    for _ in range(3, n + 1):
+        a, b = b, a + b
+    return b
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 9
+
+    res = climbing_stairs_dp(n)
+    print(f"爬 {n} 階樓梯共有 {res} 種方案")
+
+    res = climbing_stairs_dp_comp(n)
+    print(f"爬 {n} 階樓梯共有 {res} 種方案")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/coin_change.py

@@ -0,0 +1,60 @@
+"""
+File: coin_change.py
+Created Time: 2023-07-10
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def coin_change_dp(coins: list[int], amt: int) -> int:
+    """零錢兌換：動態規劃"""
+    n = len(coins)
+    MAX = amt + 1
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [[0] * (amt + 1) for _ in range(n + 1)]
+    # 狀態轉移：首行首列
+    for a in range(1, amt + 1):
+        dp[0][a] = MAX
+    # 狀態轉移：其餘行和列
+    for i in range(1, n + 1):
+        for a in range(1, amt + 1):
+            if coins[i - 1] > a:
+                # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+                dp[i][a] = dp[i - 1][a]
+            else:
+                # 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值
+                dp[i][a] = min(dp[i - 1][a], dp[i][a - coins[i - 1]] + 1)
+    return dp[n][amt] if dp[n][amt] != MAX else -1
+
+
+def coin_change_dp_comp(coins: list[int], amt: int) -> int:
+    """零錢兌換：空間最佳化後的動態規劃"""
+    n = len(coins)
+    MAX = amt + 1
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [MAX] * (amt + 1)
+    dp[0] = 0
+    # 狀態轉移
+    for i in range(1, n + 1):
+        # 正序走訪
+        for a in range(1, amt + 1):
+            if coins[i - 1] > a:
+                # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+                dp[a] = dp[a]
+            else:
+                # 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值
+                dp[a] = min(dp[a], dp[a - coins[i - 1]] + 1)
+    return dp[amt] if dp[amt] != MAX else -1
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    coins = [1, 2, 5]
+    amt = 4
+
+    # 動態規劃
+    res = coin_change_dp(coins, amt)
+    print(f"湊到目標金額所需的最少硬幣數量為 {res}")
+
+    # 空間最佳化後的動態規劃
+    res = coin_change_dp_comp(coins, amt)
+    print(f"湊到目標金額所需的最少硬幣數量為 {res}")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/coin_change_ii.py

@@ -0,0 +1,58 @@
+"""
+File: coin_change_ii.py
+Created Time: 2023-07-10
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def coin_change_ii_dp(coins: list[int], amt: int) -> int:
+    """零錢兌換 II：動態規劃"""
+    n = len(coins)
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [[0] * (amt + 1) for _ in range(n + 1)]
+    # 初始化首列
+    for i in range(n + 1):
+        dp[i][0] = 1
+    # 狀態轉移
+    for i in range(1, n + 1):
+        for a in range(1, amt + 1):
+            if coins[i - 1] > a:
+                # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+                dp[i][a] = dp[i - 1][a]
+            else:
+                # 不選和選硬幣 i 這兩種方案之和
+                dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - coins[i - 1]]
+    return dp[n][amt]
+
+
+def coin_change_ii_dp_comp(coins: list[int], amt: int) -> int:
+    """零錢兌換 II：空間最佳化後的動態規劃"""
+    n = len(coins)
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [0] * (amt + 1)
+    dp[0] = 1
+    # 狀態轉移
+    for i in range(1, n + 1):
+        # 正序走訪
+        for a in range(1, amt + 1):
+            if coins[i - 1] > a:
+                # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+                dp[a] = dp[a]
+            else:
+                # 不選和選硬幣 i 這兩種方案之和
+                dp[a] = dp[a] + dp[a - coins[i - 1]]
+    return dp[amt]
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    coins = [1, 2, 5]
+    amt = 5
+
+    # 動態規劃
+    res = coin_change_ii_dp(coins, amt)
+    print(f"湊出目標金額的硬幣組合數量為 {res}")
+
+    # 空間最佳化後的動態規劃
+    res = coin_change_ii_dp_comp(coins, amt)
+    print(f"湊出目標金額的硬幣組合數量為 {res}")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/edit_distance.py

@@ -0,0 +1,123 @@
+"""
+File: edit_distancde.py
+Created Time: 2023-07-04
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def edit_distance_dfs(s: str, t: str, i: int, j: int) -> int:
+    """編輯距離：暴力搜尋"""
+    # 若 s 和 t 都為空，則返回 0
+    if i == 0 and j == 0:
+        return 0
+    # 若 s 為空，則返回 t 長度
+    if i == 0:
+        return j
+    # 若 t 為空，則返回 s 長度
+    if j == 0:
+        return i
+    # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+    if s[i - 1] == t[j - 1]:
+        return edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j - 1)
+    # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+    insert = edit_distance_dfs(s, t, i, j - 1)
+    delete = edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j)
+    replace = edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j - 1)
+    # 返回最少編輯步數
+    return min(insert, delete, replace) + 1
+
+
+def edit_distance_dfs_mem(s: str, t: str, mem: list[list[int]], i: int, j: int) -> int:
+    """編輯距離：記憶化搜尋"""
+    # 若 s 和 t 都為空，則返回 0
+    if i == 0 and j == 0:
+        return 0
+    # 若 s 為空，則返回 t 長度
+    if i == 0:
+        return j
+    # 若 t 為空，則返回 s 長度
+    if j == 0:
+        return i
+    # 若已有記錄，則直接返回之
+    if mem[i][j] != -1:
+        return mem[i][j]
+    # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+    if s[i - 1] == t[j - 1]:
+        return edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j - 1)
+    # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+    insert = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i, j - 1)
+    delete = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j)
+    replace = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j - 1)
+    # 記錄並返回最少編輯步數
+    mem[i][j] = min(insert, delete, replace) + 1
+    return mem[i][j]
+
+
+def edit_distance_dp(s: str, t: str) -> int:
+    """編輯距離：動態規劃"""
+    n, m = len(s), len(t)
+    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
+    # 狀態轉移：首行首列
+    for i in range(1, n + 1):
+        dp[i][0] = i
+    for j in range(1, m + 1):
+        dp[0][j] = j
+    # 狀態轉移：其餘行和列
+    for i in range(1, n + 1):
+        for j in range(1, m + 1):
+            if s[i - 1] == t[j - 1]:
+                # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
+            else:
+                # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
+    return dp[n][m]
+
+
+def edit_distance_dp_comp(s: str, t: str) -> int:
+    """編輯距離：空間最佳化後的動態規劃"""
+    n, m = len(s), len(t)
+    dp = [0] * (m + 1)
+    # 狀態轉移：首行
+    for j in range(1, m + 1):
+        dp[j] = j
+    # 狀態轉移：其餘行
+    for i in range(1, n + 1):
+        # 狀態轉移：首列
+        leftup = dp[0]  # 暫存 dp[i-1, j-1]
+        dp[0] += 1
+        # 狀態轉移：其餘列
+        for j in range(1, m + 1):
+            temp = dp[j]
+            if s[i - 1] == t[j - 1]:
+                # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+                dp[j] = leftup
+            else:
+                # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1
+            leftup = temp  # 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
+    return dp[m]
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    s = "bag"
+    t = "pack"
+    n, m = len(s), len(t)
+
+    # 暴力搜尋
+    res = edit_distance_dfs(s, t, n, m)
+    print(f"將 {s} 更改為 {t} 最少需要編輯 {res} 步")
+
+    # 記憶化搜尋
+    mem = [[-1] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
+    res = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, n, m)
+    print(f"將 {s} 更改為 {t} 最少需要編輯 {res} 步")
+
+    # 動態規劃
+    res = edit_distance_dp(s, t)
+    print(f"將 {s} 更改為 {t} 最少需要編輯 {res} 步")
+
+    # 空間最佳化後的動態規劃
+    res = edit_distance_dp_comp(s, t)
+    print(f"將 {s} 更改為 {t} 最少需要編輯 {res} 步")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/knapsack.py

@@ -0,0 +1,101 @@
+"""
+File: knapsack.py
+Created Time: 2023-07-03
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def knapsack_dfs(wgt: list[int], val: list[int], i: int, c: int) -> int:
+    """0-1 背包：暴力搜尋"""
+    # 若已選完所有物品或背包無剩餘容量，則返回價值 0
+    if i == 0 or c == 0:
+        return 0
+    # 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包
+    if wgt[i - 1] > c:
+        return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
+    # 計算不放入和放入物品 i 的最大價值
+    no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
+    yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
+    # 返回兩種方案中價值更大的那一個
+    return max(no, yes)
+
+
+def knapsack_dfs_mem(
+    wgt: list[int], val: list[int], mem: list[list[int]], i: int, c: int
+) -> int:
+    """0-1 背包：記憶化搜尋"""
+    # 若已選完所有物品或背包無剩餘容量，則返回價值 0
+    if i == 0 or c == 0:
+        return 0
+    # 若已有記錄，則直接返回
+    if mem[i][c] != -1:
+        return mem[i][c]
+    # 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包
+    if wgt[i - 1] > c:
+        return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
+    # 計算不放入和放入物品 i 的最大價值
+    no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
+    yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
+    # 記錄並返回兩種方案中價值更大的那一個
+    mem[i][c] = max(no, yes)
+    return mem[i][c]
+
+
+def knapsack_dp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
+    """0-1 背包：動態規劃"""
+    n = len(wgt)
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [[0] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)]
+    # 狀態轉移
+    for i in range(1, n + 1):
+        for c in range(1, cap + 1):
+            if wgt[i - 1] > c:
+                # 若超過背包容量，則不選物品 i
+                dp[i][c] = dp[i - 1][c]
+            else:
+                # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+                dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
+    return dp[n][cap]
+
+
+def knapsack_dp_comp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
+    """0-1 背包：空間最佳化後的動態規劃"""
+    n = len(wgt)
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [0] * (cap + 1)
+    # 狀態轉移
+    for i in range(1, n + 1):
+        # 倒序走訪
+        for c in range(cap, 0, -1):
+            if wgt[i - 1] > c:
+                # 若超過背包容量，則不選物品 i
+                dp[c] = dp[c]
+            else:
+                # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+                dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
+    return dp[cap]
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    wgt = [10, 20, 30, 40, 50]
+    val = [50, 120, 150, 210, 240]
+    cap = 50
+    n = len(wgt)
+
+    # 暴力搜尋
+    res = knapsack_dfs(wgt, val, n, cap)
+    print(f"不超過背包容量的最大物品價值為 {res}")
+
+    # 記憶化搜尋
+    mem = [[-1] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)]
+    res = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, n, cap)
+    print(f"不超過背包容量的最大物品價值為 {res}")
+
+    # 動態規劃
+    res = knapsack_dp(wgt, val, cap)
+    print(f"不超過背包容量的最大物品價值為 {res}")
+
+    # 空間最佳化後的動態規劃
+    res = knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+    print(f"不超過背包容量的最大物品價值為 {res}")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/min_cost_climbing_stairs_dp.py

@@ -0,0 +1,43 @@
+"""
+File: min_cost_climbing_stairs_dp.py
+Created Time: 2023-06-30
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def min_cost_climbing_stairs_dp(cost: list[int]) -> int:
+    """爬樓梯最小代價：動態規劃"""
+    n = len(cost) - 1
+    if n == 1 or n == 2:
+        return cost[n]
+    # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+    dp = [0] * (n + 1)
+    # 初始狀態：預設最小子問題的解
+    dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
+    # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+    for i in range(3, n + 1):
+        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
+    return dp[n]
+
+
+def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: list[int]) -> int:
+    """爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃"""
+    n = len(cost) - 1
+    if n == 1 or n == 2:
+        return cost[n]
+    a, b = cost[1], cost[2]
+    for i in range(3, n + 1):
+        a, b = b, min(a, b) + cost[i]
+    return b
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    cost = [0, 1, 10, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 10, 1]
+    print(f"輸入樓梯的代價串列為 {cost}")
+
+    res = min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
+    print(f"爬完樓梯的最低代價為 {res}")
+
+    res = min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost)
+    print(f"爬完樓梯的最低代價為 {res}")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/min_path_sum.py

@@ -0,0 +1,104 @@
+"""
+File: min_path_sum.py
+Created Time: 2023-07-04
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+from math import inf
+
+
+def min_path_sum_dfs(grid: list[list[int]], i: int, j: int) -> int:
+    """最小路徑和：暴力搜尋"""
+    # 若為左上角單元格，則終止搜尋
+    if i == 0 and j == 0:
+        return grid[0][0]
+    # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
+    if i < 0 or j < 0:
+        return inf
+    # 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
+    up = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j)
+    left = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1)
+    # 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
+    return min(left, up) + grid[i][j]
+
+
+def min_path_sum_dfs_mem(
+    grid: list[list[int]], mem: list[list[int]], i: int, j: int
+) -> int:
+    """最小路徑和：記憶化搜尋"""
+    # 若為左上角單元格，則終止搜尋
+    if i == 0 and j == 0:
+        return grid[0][0]
+    # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
+    if i < 0 or j < 0:
+        return inf
+    # 若已有記錄，則直接返回
+    if mem[i][j] != -1:
+        return mem[i][j]
+    # 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
+    up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j)
+    left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1)
+    # 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
+    mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j]
+    return mem[i][j]
+
+
+def min_path_sum_dp(grid: list[list[int]]) -> int:
+    """最小路徑和：動態規劃"""
+    n, m = len(grid), len(grid[0])
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [[0] * m for _ in range(n)]
+    dp[0][0] = grid[0][0]
+    # 狀態轉移：首行
+    for j in range(1, m):
+        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
+    # 狀態轉移：首列
+    for i in range(1, n):
+        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
+    # 狀態轉移：其餘行和列
+    for i in range(1, n):
+        for j in range(1, m):
+            dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
+    return dp[n - 1][m - 1]
+
+
+def min_path_sum_dp_comp(grid: list[list[int]]) -> int:
+    """最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃"""
+    n, m = len(grid), len(grid[0])
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [0] * m
+    # 狀態轉移：首行
+    dp[0] = grid[0][0]
+    for j in range(1, m):
+        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
+    # 狀態轉移：其餘行
+    for i in range(1, n):
+        # 狀態轉移：首列
+        dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
+        # 狀態轉移：其餘列
+        for j in range(1, m):
+            dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]
+    return dp[m - 1]
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    grid = [[1, 3, 1, 5], [2, 2, 4, 2], [5, 3, 2, 1], [4, 3, 5, 2]]
+    n, m = len(grid), len(grid[0])
+
+    # 暴力搜尋
+    res = min_path_sum_dfs(grid, n - 1, m - 1)
+    print(f"從左上角到右下角的做小路徑和為 {res}")
+
+    # 記憶化搜尋
+    mem = [[-1] * m for _ in range(n)]
+    res = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, n - 1, m - 1)
+    print(f"從左上角到右下角的做小路徑和為 {res}")
+
+    # 動態規劃
+    res = min_path_sum_dp(grid)
+    print(f"從左上角到右下角的做小路徑和為 {res}")
+
+    # 空間最佳化後的動態規劃
+    res = min_path_sum_dp_comp(grid)
+    print(f"從左上角到右下角的做小路徑和為 {res}")

zh-hant/codes/python/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack.py

@@ -0,0 +1,55 @@
+"""
+File: unbounded_knapsack.py
+Created Time: 2023-07-10
+Author: krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def unbounded_knapsack_dp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
+    """完全背包：動態規劃"""
+    n = len(wgt)
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [[0] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)]
+    # 狀態轉移
+    for i in range(1, n + 1):
+        for c in range(1, cap + 1):
+            if wgt[i - 1] > c:
+                # 若超過背包容量，則不選物品 i
+                dp[i][c] = dp[i - 1][c]
+            else:
+                # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+                dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
+    return dp[n][cap]
+
+
+def unbounded_knapsack_dp_comp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
+    """完全背包：空間最佳化後的動態規劃"""
+    n = len(wgt)
+    # 初始化 dp 表
+    dp = [0] * (cap + 1)
+    # 狀態轉移
+    for i in range(1, n + 1):
+        # 正序走訪
+        for c in range(1, cap + 1):
+            if wgt[i - 1] > c:
+                # 若超過背包容量，則不選物品 i
+                dp[c] = dp[c]
+            else:
+                # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+                dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
+    return dp[cap]
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    wgt = [1, 2, 3]
+    val = [5, 11, 15]
+    cap = 4
+
+    # 動態規劃
+    res = unbounded_knapsack_dp(wgt, val, cap)
+    print(f"不超過背包容量的最大物品價值為 {res}")
+
+    # 空間最佳化後的動態規劃
+    res = unbounded_knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+    print(f"不超過背包容量的最大物品價值為 {res}")