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chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html

@@ -3517,14 +3517,14 @@
 </div>
 <p>例如以下示例数据，给定网格的最小路径和为 <span class="arithmatex">\(13\)</span> 。</p>
 <p><img alt="最小路径和示例数据" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_example.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 最小路径和示例数据 </p>
+<p align="center"> 图：最小路径和示例数据 </p>
 
 <p><strong>第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表</strong></p>
 <p>本题的每一轮的决策就是从当前格子向下或向右一步。设当前格子的行列索引为 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> ，则向下或向右走一步后，索引变为 <span class="arithmatex">\([i+1, j]\)</span> 或 <span class="arithmatex">\([i, j+1]\)</span> 。因此，状态应包含行索引和列索引两个变量，记为 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 。</p>
 <p>状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 对应的子问题为：从起始点 <span class="arithmatex">\([0, 0]\)</span> 走到 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 的最小路径和，解记为 <span class="arithmatex">\(dp[i, j]\)</span> 。</p>
 <p>至此，我们就得到了一个二维 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 矩阵，其尺寸与输入网格 <span class="arithmatex">\(grid\)</span> 相同。</p>
 <p><img alt="状态定义与 dp 表" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step1.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 状态定义与 dp 表 </p>
+<p align="center"> 图：状态定义与 dp 表 </p>
 
 <div class="admonition note">
 <p class="admonition-title">Note</p>
@@ -3538,7 +3538,7 @@
 dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 \]</div>
 <p><img alt="最优子结构与状态转移方程" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step2.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 最优子结构与状态转移方程 </p>
+<p align="center"> 图：最优子结构与状态转移方程 </p>
 
 <div class="admonition note">
 <p class="admonition-title">Note</p>
@@ -3549,7 +3549,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p>在本题中，处在首行的状态只能向右转移，首列状态只能向下转移，因此首行 <span class="arithmatex">\(i = 0\)</span> 和首列 <span class="arithmatex">\(j = 0\)</span> 是边界条件。</p>
 <p>每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。</p>
 <p><img alt="边界条件与状态转移顺序" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step3.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 边界条件与状态转移顺序 </p>
+<p align="center"> 图：边界条件与状态转移顺序 </p>
 
 <div class="admonition note">
 <p class="admonition-title">Note</p>
@@ -3753,7 +3753,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p>下图给出了以 <span class="arithmatex">\(dp[2, 1]\)</span> 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 <code>grid</code> 的尺寸变大而急剧增多。</p>
 <p>本质上看，造成重叠子问题的原因为：<strong>存在多条路径可以从左上角到达某一单元格</strong>。</p>
 <p><img alt="暴力搜索递归树" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 暴力搜索递归树 </p>
+<p align="center"> 图：暴力搜索递归树 </p>
 
 <p>每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 <span class="arithmatex">\(m + n - 2\)</span> 步，所以最差时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(2^{m + n})\)</span> 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。</p>
 <h3 id="_2">方法二：记忆化搜索<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
@@ -3992,7 +3992,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 </div>
 <p>引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 <span class="arithmatex">\(O(nm)\)</span> 。</p>
 <p><img alt="记忆化搜索递归树" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 记忆化搜索递归树 </p>
+<p align="center"> 图：记忆化搜索递归树 </p>
 
 <h3 id="_3">方法三：动态规划<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>基于迭代实现动态规划解法。</p>
@@ -4279,6 +4279,8 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 </div>
 </div>
 </div>
+<p align="center"> 图：最小路径和的动态规划过程 </p>
+
 <h3 id="_4">状态压缩<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>由于每个格子只与其左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。</p>
 <p>请注意，因为数组 <code>dp</code> 只能表示一行的状态，所以我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。</p>