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chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html

@@ -3438,7 +3438,7 @@
 </ol>
 <p>下图展示了在数组中二分查找元素 <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的分治过程。</p>
 <p><img alt="二分查找的分治过程" src="../binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 二分查找的分治过程 </p>
+<p align="center"> 图：二分查找的分治过程 </p>
 
 <p>在实现代码中，我们声明一个递归函数 <code>dfs()</code> 来求解问题 <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> 。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JS</label><label for="__tabbed_1_6">TS</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label><label for="__tabbed_1_12">Rust</label></div>

chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html

@@ -3453,7 +3453,7 @@
 <p>给定一个二叉树的前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。</p>
 </div>
 <p><img alt="构建二叉树的示例数据" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 构建二叉树的示例数据 </p>
+<p align="center"> 图：构建二叉树的示例数据 </p>
 
 <h3 id="_1">判断是否为分治问题<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>原问题定义为从 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题：</p>
@@ -3476,7 +3476,7 @@
 <li>根据 <code>inorder</code> 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 <code>preorder</code> 划分为 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
 </ol>
 <p><img alt="在前序和中序遍历中划分子树" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
+<p align="center"> 图：在前序和中序遍历中划分子树 </p>
 
 <h3 id="_3">基于变量描述子树区间<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>根据以上划分方法，<strong>我们已经得到根节点、左子树、右子树在 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 中的索引区间</strong>。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：</p>
@@ -3516,7 +3516,7 @@
 </div>
 <p>请注意，右子树根节点索引中的 <span class="arithmatex">\((m-l)\)</span> 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。</p>
 <p><img alt="根节点和左右子树的索引区间表示" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
+<p align="center"> 图：根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
 
 <h3 id="_4">代码实现<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为了提升查询 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 的效率，我们借助一个哈希表 <code>hmap</code> 来存储数组 <code>inorder</code> 中元素到索引的映射。</p>
@@ -3863,6 +3863,8 @@
 </div>
 </div>
 </div>
+<p align="center"> 图：构建二叉树的递归过程 </p>
+
 <p>设树的节点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 <code>dfs()</code> ）使用 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 时间。<strong>因此总体时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
 <p>哈希表存储 <code>inorder</code> 元素到索引的映射，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 的栈帧空间。<strong>因此总体空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
 

chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html

@@ -3485,7 +3485,7 @@
 <li><strong>治</strong>：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。</li>
 </ol>
 <p><img alt="归并排序的分治策略" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_merge_sort.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 归并排序的分治策略 </p>
+<p align="center"> 图：归并排序的分治策略 </p>
 
 <h2 id="1211">12.1.1. &nbsp; 如何判断分治问题<a class="headerlink" href="#1211" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据：</p>
@@ -3509,7 +3509,7 @@
 O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
 \]</div>
 <p><img alt="划分数组前后的冒泡排序" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_bubble_sort.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 划分数组前后的冒泡排序 </p>
+<p align="center"> 图：划分数组前后的冒泡排序 </p>
 
 <p>接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：</p>
 <div class="arithmatex">\[
@@ -3527,7 +3527,7 @@ n(n - 4) &amp; &gt; 0
 <p>并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。</p>
 <p>比如在桶排序中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。</p>
 <p><img alt="桶排序的并行计算" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 桶排序的并行计算 </p>
+<p align="center"> 图：桶排序的并行计算 </p>
 
 <h2 id="1213">12.1.3. &nbsp; 分治常见应用<a class="headerlink" href="#1213" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题：</p>

chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html

@@ -3445,7 +3445,7 @@
 </ol>
 </div>
 <p><img alt="汉诺塔问题示例" src="../hanota_problem.assets/hanota_example.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题示例 </p>
+<p align="center"> 图：汉诺塔问题示例 </p>
 
 <p><strong>我们将规模为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的汉诺塔问题记做 <span class="arithmatex">\(f(i)\)</span></strong> 。例如 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 代表将 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 的汉诺塔问题。</p>
 <h3 id="_1">考虑基本情况<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
@@ -3460,6 +3460,8 @@
 </div>
 </div>
 </div>
+<p align="center"> 图：规模为 1 问题的解 </p>
+
 <p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> ，即当有两个圆盘时，<strong>由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 <code>B</code> 来完成移动</strong>，包括三步：</p>
 <ol>
 <li>先将上面的小圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> 。</li>
@@ -3483,6 +3485,8 @@
 </div>
 </div>
 </div>
+<p align="center"> 图：规模为 2 问题的解 </p>
+
 <h3 id="_2">子问题分解<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的解，因此可从分治角度思考，<strong>将 <code>A</code> 顶部的两个圆盘看做一个整体</strong>，执行以下步骤：</p>
 <ol>
@@ -3507,6 +3511,8 @@
 </div>
 </div>
 </div>
+<p align="center"> 图：规模为 3 问题的解 </p>
+
 <p>本质上看，<strong>我们将问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 和子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span></strong> 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。</p>
 <p>至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：将原问题 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> 和一个子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。子问题的解决顺序为：</p>
 <ol>
@@ -3516,7 +3522,7 @@
 </ol>
 <p>对于这两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> ，<strong>可以通过相同的方式进行递归划分</strong>，直至达到最小子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。而 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 的解是已知的，只需一次移动操作即可。</p>
 <p><img alt="汉诺塔问题的分治策略" src="../hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的分治策略 </p>
+<p align="center"> 图：汉诺塔问题的分治策略 </p>
 
 <h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>在代码中，我们声明一个递归函数 <code>dfs(i, src, buf, tar)</code> ，它的作用是将柱 <code>src</code> 顶部的 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个圆盘借助缓冲柱 <code>buf</code> 移动至目标柱 <code>tar</code> 。</p>
@@ -3838,7 +3844,7 @@
 </div>
 <p>如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 <code>dfs()</code> 函数，<strong>因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> ，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
 <p><img alt="汉诺塔问题的递归树" src="../hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的递归树 </p>
+<p align="center"> 图：汉诺塔问题的递归树 </p>
 
 <div class="admonition quote">
 <p class="admonition-title">Quote</p>