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chapter_backtracking/subset_sum_problem/index.html

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 <p>向以上代码输入数组 <span class="arithmatex">\([3, 4, 5]\)</span> 和目标元素 <span class="arithmatex">\(9\)</span> ，输出结果为 <span class="arithmatex">\([3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]\)</span> 。<strong>虽然成功找出了所有和为 <span class="arithmatex">\(9\)</span> 的子集，但其中存在重复的子集 <span class="arithmatex">\([4, 5]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\([5, 4]\)</span></strong> 。</p>
 <p>这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如下图所示，先选 <span class="arithmatex">\(4\)</span> 后选 <span class="arithmatex">\(5\)</span> 与先选 <span class="arithmatex">\(5\)</span> 后选 <span class="arithmatex">\(4\)</span> 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。</p>
 <p><img alt="子集搜索与越界剪枝" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 子集搜索与越界剪枝 </p>
+<p align="center"> 图：子集搜索与越界剪枝 </p>
 
 <p>为了去除重复子集，<strong>一种直接的思路是对结果列表进行去重</strong>。但这个方法效率很低，因为：</p>
 <ul>
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 <li>若第一轮选择 <span class="arithmatex">\(5\)</span> ，<strong>则第二轮应该跳过 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(4\)</span></strong> ，因为子集 <span class="arithmatex">\([5, 3, \cdots]\)</span> 和子集 <span class="arithmatex">\([5, 4, \cdots]\)</span> 和 <code>1.</code> , <code>2.</code> 中生成的子集完全重复。</li>
 </ol>
 <p><img alt="不同选择顺序导致的重复子集" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
+<p align="center"> 图：不同选择顺序导致的重复子集 </p>
 
 <p>总结来看，给定输入数组 <span class="arithmatex">\([x_1, x_2, \cdots, x_n]\)</span> ，设搜索过程中的选择序列为 <span class="arithmatex">\([x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]\)</span> ，则该选择序列需要满足 <span class="arithmatex">\(i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m\)</span> ，<strong>不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝</strong>。</p>
 <h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
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 </div>
 <p>如下图所示，为将数组 <span class="arithmatex">\([3, 4, 5]\)</span> 和目标元素 <span class="arithmatex">\(9\)</span> 输入到以上代码后的整体回溯过程。</p>
 <p><img alt="子集和 I 回溯过程" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 子集和 I 回溯过程 </p>
+<p align="center"> 图：子集和 I 回溯过程 </p>
 
 <h2 id="1332">13.3.2. &nbsp; 考虑重复元素的情况<a class="headerlink" href="#1332" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <div class="admonition question">
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 <p>相比于上题，<strong>本题的输入数组可能包含重复元素</strong>，这引入了新的问题。例如，给定数组 <span class="arithmatex">\([4, \hat{4}, 5]\)</span> 和目标元素 <span class="arithmatex">\(9\)</span> ，则现有代码的输出结果为 <span class="arithmatex">\([4, 5], [\hat{4}, 5]\)</span> ，出现了重复子集。</p>
 <p><strong>造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择</strong>。如下图所示，第一轮共有三个选择，其中两个都为 <span class="arithmatex">\(4\)</span> ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 <span class="arithmatex">\(4\)</span> 也会产生重复子集。</p>
 <p><img alt="相等元素导致的重复子集" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 相等元素导致的重复子集 </p>
+<p align="center"> 图：相等元素导致的重复子集 </p>
 
 <h3 id="_4">相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为解决此问题，<strong>我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次</strong>。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。</p>
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 </div>
 <p>下图展示了数组 <span class="arithmatex">\([4, 4, 5]\)</span> 和目标元素 <span class="arithmatex">\(9\)</span> 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。</p>
 <p><img alt="子集和 II 回溯过程" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 子集和 II 回溯过程 </p>
+<p align="center"> 图：子集和 II 回溯过程 </p>