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2023-08-27 23:40:39 +08:00
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@ -31,7 +31,7 @@
- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同,我们可以跳过它们,直接考虑 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ 。
- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同,我们需要对 $s$ 进行一次编辑(插入、删除、替换),使得两字符串尾部的字符相同,从而可以跳过它们,考虑规模更小的问题。
也就是说,我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策(编辑操作),都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此,状态为当前在 $s$ , $t$ 中考虑的第 $i$ , $j$ 个字符,记为 $[i, j]$ 。
也就是说,我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策(编辑操作),都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此,状态为当前在 $s$ $t$ 中考虑的第 $i$ $j$ 个字符,记为 $[i, j]$ 。
状态 $[i, j]$ 对应的子问题:**将 $s$ 的前 $i$ 个字符更改为 $t$ 的前 $j$ 个字符所需的最少编辑步数**。
@ -47,7 +47,7 @@
![编辑距离的状态转移](edit_distance_problem.assets/edit_distance_state_transfer.png)
根据以上分析,可得最优子结构:$dp[i, j]$ 的最少编辑步数等于 $dp[i, j-1]$ , $dp[i-1, j]$ , $dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少编辑步数,再加上本次的编辑步数 $1$ 。对应的状态转移方程为:
根据以上分析,可得最优子结构:$dp[i, j]$ 的最少编辑步数等于 $dp[i, j-1]$$dp[i-1, j]$$dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少编辑步数,再加上本次的编辑步数 $1$ 。对应的状态转移方程为:
$$
dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1
@ -188,7 +188,7 @@ $$
### 空间优化
由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$ 、左方 $dp[i, j-1]$ 、左上方状态 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来,而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ,倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ,因此两种遍历顺序都不可取。
由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$、左方 $dp[i, j-1]$、左上方状态 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来,而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ,倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ,因此两种遍历顺序都不可取。
为此,我们可以使用一个变量 `leftup` 来暂存左上方的解 $dp[i-1, j-1]$ ,从而只需考虑左方和上方的解。此时的情况与完全背包问题相同,可使用正序遍历。