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52
docs/chapter_graph/graph.md
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@ -1,6 +1,6 @@
# 图
「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图
「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可以将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。
$$
\begin{aligned}
@ -12,53 +12,53 @@ $$
![链表、树、图之间的关系](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png)
那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂**。
那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看作是一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂**。
## 图常见类型
根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
根据边是否具有方向，可分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
- 在无向图中，边表示两顶点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
- 在有向图中，边是有方向的，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；
- 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
- 在有向图中，边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；
![有向图与无向图](graph.assets/directed_graph.png)
根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；
- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；
![连通图与非连通图](graph.assets/connected_graph.png)
我们可以给边添加“权重”变量，得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等游戏中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。
我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
![有权图与无权图](graph.assets/weighted_graph.png)
## 图常用术语
- 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。例如，上图中顶点 1 的邻接顶点为顶点 2, 3, 5 。
- 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。例如，上图中边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一个路径。
- 「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。
- 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
- 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
- 「度 Degree」表示一个顶点拥有的边数。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。
## 图的表示
图的常用表示方法有「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用「无向图」来举例。
图的常用表示方法包括「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用无向图进行举例。
### 邻接矩阵
设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。
设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间是否存在边。
如下图所示，记邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，则矩阵元素 $M[i][j] = 1$ 代表着顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间有边，相反地 $M[i][j] = 0$ 代表两顶点之间无边。
如下图所示，设邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i][j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i][j] = 0$ 表示两顶点之间无边。
![图的邻接矩阵表示](graph.assets/adjacency_matrix.png)
邻接矩阵具有以下性质：
邻接矩阵具有以下特性：
- 顶点不能与自身相连，因而邻接矩阵主对角线元素没有意义。
- 「无向图」两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
- 将邻接矩阵的元素从 $1$ , $0$ 替换为权重，则能够表示「有权图」。
- 顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。
- 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
- 将邻接矩阵的元素从 $1$ , $0$ 替换为权重，则可表示有权图。
使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接通过访问矩阵元素来获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较大。
使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较多。
### 邻接表
@ -66,20 +66,20 @@ $$
![图的邻接表表示](graph.assets/adjacency_list.png)
邻接表仅存储存在的边，而边的总数往往远小于 $n^2$ ，因此更加节省空间。但是，因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，所以其时间效率不如邻接矩阵。
邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 $n^2$ ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。
观察上图发现，**邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率**。比如，当链表较长时，可以把链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为哈希表，将时间复杂度降低至 $O(1)$ 。
观察上图可发现，**邻接表结构与哈希表中的「链地址法」非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率**。例如，当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ，还可以通过中序遍历获取有序序列；此外，还可以将链表转换为哈希表，将时间复杂度降低至 $O(1)$ 。
## 图常见应用
现实中的许多系统都可以使用图来建模，对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。
实际应用中，许多系统都可以用图来建模，相应的待求解问题也可以约化为图计算问题。
<div class="center-table" markdown>
| | 顶点 | 边 | 图计算问题 |
| -------- | ---- | -------------------- | ------------ |
| 社交网络 | 用户 | 好友关系 | 潜在好友推荐 |
| 地铁线路 | 站点 | 站点间的连通性 | 最短路线推荐 |
| 太阳系 | 星体 | 星体间的万有引力作用 | 行星轨道计算 |
| | 顶点 | 边 | 图计算问题 |
| ------ | ---- | --------------- | ------------ |
| 社交网络 | 用户 | 好友关系 | 潜在好友推荐 |
| 地铁线路 | 站点 | 站点间的连通性 | 最短路线推荐 |
| 太阳系 | 星体 | 星体间的万有引力作用 | 行星轨道计算 |
</div>

24
docs/chapter_graph/graph_operations.md
View File

@ -1,12 +1,12 @@
# 图基础操作
图的基础操作分为对「边」的操作和对「顶点」的操作，在「邻接矩阵」和「邻接表」这两种表示下的实现方式不同。
图的基础操作可分为对「边」的操作和对「顶点」的操作。在「邻接矩阵」和「邻接表」两种表示方法下，实现方式有所不同。
## 基于邻接矩阵的实现
设图的顶点总数为 $n$ ，则有：
给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则有：
- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
- **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
- **删除顶点**：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”，从而使用 $O(n^2)$ 时间。
- **初始化**：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 `vertices` ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 `adjMat` ，使用 $O(n^2)$ 时间。
@ -90,13 +90,13 @@
## 基于邻接表的实现
设图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
- **添加边**：在顶点对应链表的尾部添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
- **删除边**：在顶点对应链表中查询与删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。与添加边一样，需要同时删除两个方向的边。
- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表即可，并以新增顶点为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。
- **删除顶点**：需要遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(n + m)$ 时间。
- **初始化**：需要在邻接表中建立 $n$ 个结点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。
- **添加边**：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
- **删除边**：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。
- **删除顶点**：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(1)$ 时间。
- **初始化**：在邻接表中创建 $n$ 个顶点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。
=== "初始化邻接表"
![邻接表的初始化、增删边、增删顶点](graph_operations.assets/adjacency_list_initialization.png)
@ -113,10 +113,10 @@
=== "删除顶点"
![adjacency_list_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_remove_vertex.png)
基于邻接表实现图的代码如下所示。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 结点类来表示顶点**，这样做的原因是：
以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 结点类来表示顶点**，这样做的原因有：
- 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
- 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 $i$ 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样操作效率太低。
- 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 $i$ 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部减 $1$，这样操作效率较低。
- 因此我们考虑引入顶点类 `Vertex` ，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无需改动其余顶点了。
=== "Java"
@ -196,4 +196,4 @@
</div>
观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，**邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”**。
观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。

36
docs/chapter_graph/graph_traversal.md
View File

@ -2,25 +2,25 @@
!!! note "图与树的关系"
树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。
树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作是图的一种特例。显然，**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**，建议你在学习本章节时融会贯通两者的概念与实现方法。
「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
「图」和「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。
与树类似，图的遍历方式也可分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，也称为「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称 BFS 和 DFS。
## 广度优先遍历
**广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体来说，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)
### 算法实现
BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。
BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环；
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
3. 循环 `2.` ，直到所有顶点访问完成后结束；
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完成后结束；
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。
@ -121,23 +121,23 @@ BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，
!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换。
### 复杂度分析
**时间复杂度：** 所有顶点都会入队、出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**时间复杂度：** 所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
## 深度优先遍历
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)
### 算法实现
这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
这种“走到尽头 + 回溯”的算法形式通常基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
=== "Java"
@ -219,12 +219,12 @@ BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，
[class]{}-[func]{graphDFS}
```
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中：
- **直虚线代表向下递推**，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
- **曲虚线代表向上回溯**，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；
- **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
- **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；
为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
为了加深理解，建议将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
=== "<1>"
![图的深度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png)
@ -261,12 +261,12 @@ BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，
!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种不同的遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。
### 复杂度分析
**时间复杂度：** 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**时间复杂度：** 所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。

20
docs/chapter_graph/summary.md
View File

@ -1,13 +1,13 @@
# 小结
- 图由顶点和边组成，可以表示为一组顶点和一组边构成的集合。
- 相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂。
- 有向图的边存在方向，连通图中的任意顶点都可达，有权图的每条边都包含权重变量。
- 邻接矩阵使用方阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵的增删查操作效率很高，但占用空间大。
- 邻接表使用多个链表来表示图，第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对邻接矩阵更加节省空间，但由于需要通过遍历链表来查找边，因此时间效率较低。
- 当邻接表中的链表过长时，可以将其转化为红黑树或哈希表，从而提升查询效率。
- 从算法思想角度分析，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”
- 图可以用于建模各类现实系统，例如社交网络、地铁线路等。
- 图由顶点和边组成，可以被表示为一组顶点和一组边构成的集合。
- 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）具有更高的自由度，因而更为复杂。
- 有向图的边具有方向性，连通图中的任意顶点均可达，有权图的每条边都包含权重变量。
- 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查操作上效率很高，但空间占用较多。
- 邻接表使用多个链表来表示图，第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，时间效率较低。
- 当邻接表中的链表过长时，可以将其转换为红黑树或哈希表，从而提升查询效率。
- 从算法思想角度分析，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”。
- 图可用于建模各类现实系统，如社交网络、地铁线路等。
- 树是图的一种特例，树的遍历也是图的遍历的一种特例。
- 图的广度优先遍历是一种由近及远、层层扩张的搜索方式，常借助队列实现。
- 图的深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的搜索方式，常基于递归来实现。
- 图的广度优先遍历是一种由近及远、层层扩张的搜索方式，通常借助队列实现。
- 图的深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走时再回溯的搜索方式，常基于递归来实现。