Bug fixes and improvements (#1380)

* preorder, inorder, postorder -> pre-order, in-order, post-order

* Bug fixes

* Bug fixes

* Update what_is_dsa.md

* Sync zh and zh-hant versions

* Sync zh and zh-hant versions.

* Update performance_evaluation.md and time_complexity.md

* Add @khoaxuantu to the landing page.

* Sync zh and zh-hant versions

* Add @ khoaxuantu to the landing page of zh-hant and en versions.

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_backtrack.rb

@@ -0,0 +1,37 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_backtrack.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 回溯 ###
+def backtrack(choices, state, n, res)
+  # 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
+  res[0] += 1 if state == n
+  # 走訪所有選擇
+  for choice in choices
+    # 剪枝：不允許越過第 n 階
+    next if state + choice > n
+
+    # 嘗試：做出選擇，更新狀態
+    backtrack(choices, state + choice, n, res)
+  end
+  # 回退
+end
+
+### 爬樓梯：回溯 ###
+def climbing_stairs_backtrack(n)
+  choices = [1, 2] # 可選擇向上爬 1 階或 2 階
+  state = 0 # 從第 0 階開始爬
+  res = [0] # 使用 res[0] 記錄方案數量
+  backtrack(choices, state, n, res)
+  res.first
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_backtrack(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_constraint_dp.rb

@@ -0,0 +1,31 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_constraint_dp.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 帶約束爬樓梯：動態規劃 ###
+def climbing_stairs_constraint_dp(n)
+  return 1 if n == 1 || n == 2
+
+  # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(3, 0) }
+  # 初始狀態：預設最小子問題的解
+  dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
+  dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
+  # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+  for i in 3...(n + 1)
+    dp[i][1] = dp[i - 1][2]
+    dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
+  end
+
+  dp[n][1] + dp[n][2]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_constraint_dp(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dfs.rb

@@ -0,0 +1,26 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_dfs.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 搜尋 ###
+def dfs(i)
+  # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+  return i if i == 1 || i == 2
+  # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+  dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
+end
+
+### 爬樓梯：搜尋 ###
+def climbing_stairs_dfs(n)
+  dfs(n)
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_dfs(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dfs_mem.rb

@@ -0,0 +1,33 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_dfs_mem.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 記憶化搜尋 ###
+def dfs(i, mem)
+  # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+  return i if i == 1 || i == 2
+  # 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
+  return mem[i] if mem[i] != -1
+
+  # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+  count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
+  # 記錄 dp[i]
+  mem[i] = count
+end
+
+### 爬樓梯：記憶化搜尋 ###
+def climbing_stairs_dfs_mem(n)
+  # mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
+  mem = Array.new(n + 1, -1)
+  dfs(n, mem)
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_dfs_mem(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dp.rb

@@ -0,0 +1,40 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_dp.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 爬樓梯：動態規劃 ###
+def climbing_stairs_dp(n)
+  return n  if n == 1 || n == 2
+
+  # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+  dp = Array.new(n + 1, 0)
+  # 初始狀態：預設最小子問題的解
+  dp[1], dp[2] = 1, 2
+  # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+  (3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] }
+
+  dp[n]
+end
+
+### 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def climbing_stairs_dp_comp(n)
+  return n if n == 1 || n == 2
+
+  a, b = 1, 2
+  (3...(n + 1)).each { a, b = b, a + b }
+
+  b
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_dp(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+
+  res = climbing_stairs_dp_comp(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/coin_change.rb

@@ -0,0 +1,65 @@
+=begin
+File: coin_change.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 零錢兌換：動態規劃 ###
+def coin_change_dp(coins, amt)
+  n = coins.length
+  _MAX = amt + 1
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(amt + 1, 0) }
+  # 狀態轉移：首行首列
+  (1...(amt + 1)).each { |a| dp[0][a] = _MAX }
+  # 狀態轉移：其餘行和列
+  for i in 1...(n + 1)
+    for a in 1...(amt + 1)
+      if coins[i - 1] > a
+        # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+        dp[i][a] = dp[i - 1][a]
+      else
+        # 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值
+        dp[i][a] = [dp[i - 1][a], dp[i][a - coins[i - 1]] + 1].min
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][amt] != _MAX ? dp[n][amt] : -1
+end
+
+### 零錢兌換：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def coin_change_dp_comp(coins, amt)
+  n = coins.length
+  _MAX = amt + 1
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(amt + 1, _MAX)
+  dp[0] = 0
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 正序走訪
+    for a in 1...(amt + 1)
+      if coins[i - 1] > a
+        # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+        dp[a] = dp[a]
+      else
+        # 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值
+        dp[a] = [dp[a], dp[a - coins[i - 1]] + 1].min
+      end
+    end
+  end
+  dp[amt] != _MAX ? dp[amt] : -1
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  coins = [1, 2, 5]
+  amt = 4
+
+  # 動態規劃
+  res = coin_change_dp(coins, amt)
+  puts "湊到目標金額所需的最少硬幣數量為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = coin_change_dp_comp(coins, amt)
+  puts "湊到目標金額所需的最少硬幣數量為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/coin_change_ii.rb

@@ -0,0 +1,63 @@
+=begin
+File: coin_change_ii.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 零錢兌換 II：動態規劃 ###
+def coin_change_ii_dp(coins, amt)
+  n = coins.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(amt + 1, 0) }
+  # 初始化首列
+  (0...(n + 1)).each { |i| dp[i][0] = 1 }
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    for a in 1...(amt + 1)
+      if coins[i - 1] > a
+        # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+        dp[i][a] = dp[i - 1][a]
+      else
+        # 不選和選硬幣 i 這兩種方案之和
+        dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - coins[i - 1]]
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][amt]
+end
+
+### 零錢兌換 II：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def coin_change_ii_dp_comp(coins, amt)
+  n = coins.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(amt + 1, 0)
+  dp[0] = 1
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 正序走訪
+    for a in 1...(amt + 1)
+      if coins[i - 1] > a
+        # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+        dp[a] = dp[a]
+      else
+        # 不選和選硬幣 i 這兩種方案之和
+        dp[a] = dp[a] + dp[a - coins[i - 1]]
+      end
+    end
+  end
+  dp[amt]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  coins = [1, 2, 5]
+  amt = 5
+
+  # 動態規劃
+  res = coin_change_ii_dp(coins, amt)
+  puts "湊出目標金額的硬幣組合數量為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = coin_change_ii_dp_comp(coins, amt)
+  puts "湊出目標金額的硬幣組合數量為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/edit_distance.rb

@@ -0,0 +1,115 @@
+=begin
+File: edit_distance.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 編輯距離：暴力搜尋 ###
+def edit_distance_dfs(s, t, i, j)
+  # 若 s 和 t 都為空，則返回 0
+  return 0 if i == 0 && j == 0
+  # 若 s 為空，則返回 t 長度
+  return j if i == 0
+  # 若 t 為空，則返回 s 長度
+  return i if j == 0
+  # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+  return edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j - 1) if s[i - 1] == t[j - 1]
+  # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+  insert = edit_distance_dfs(s, t, i, j - 1)
+  delete = edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j)
+  replace = edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j - 1)
+  # 返回最少編輯步數
+  [insert, delete, replace].min + 1
+end
+
+def edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i, j)
+  # 若 s 和 t 都為空，則返回 0
+  return 0 if i == 0 && j == 0
+  # 若 s 為空，則返回 t 長度
+  return j if i == 0
+  # 若 t 為空，則返回 s 長度
+  return i if j == 0
+  # 若已有記錄，則直接返回之
+  return mem[i][j] if mem[i][j] != -1
+  # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+  return edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j - 1) if s[i - 1] == t[j - 1]
+  # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+  insert = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i, j - 1)
+  delete = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j)
+  replace = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j - 1)
+  # 記錄並返回最少編輯步數
+  mem[i][j] = [insert, delete, replace].min + 1
+end
+
+### 編輯距離：動態規劃 ###
+def edit_distance_dp(s, t)
+  n, m = s.length, t.length
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(m + 1, 0) }
+  # 狀態轉移：首行首列
+  (1...(n + 1)).each { |i| dp[i][0] = i }
+  (1...(m + 1)).each { |j| dp[0][j] = j }
+  # 狀態轉移：其餘行和列
+  for i in 1...(n + 1)
+    for j in 1...(m +1)
+      if s[i - 1] == t[j - 1]
+        # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
+      else
+        # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+        dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]].min + 1
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][m]
+end
+
+### 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def edit_distance_dp_comp(s, t)
+  n, m = s.length, t.length
+  dp = Array.new(m + 1, 0)
+  # 狀態轉移：首行
+  (1...(m + 1)).each { |j| dp[j] = j }
+  # 狀態轉移：其餘行
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 狀態轉移：首列
+    leftup = dp.first # 暫存 dp[i-1, j-1]
+    dp[0] += 1
+    # 狀態轉移：其餘列
+    for j in 1...(m + 1)
+      temp = dp[j]
+      if s[i - 1] == t[j - 1]
+        # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+        dp[j] = leftup
+      else
+        # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+        dp[j] = [dp[j - 1], dp[j], leftup].min + 1
+      end
+      leftup = temp # 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
+    end
+  end
+  dp[m]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  s = 'bag'
+  t = 'pack'
+  n, m = s.length, t.length
+
+  # 暴力搜尋
+  res = edit_distance_dfs(s, t, n, m)
+  puts "將 #{s} 更改為 #{t} 最少需要編輯 #{res} 步"
+
+  # 記憶化搜尋
+  mem = Array.new(n + 1) { Array.new(m + 1, -1) }
+  res = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, n, m)
+  puts "將 #{s} 更改為 #{t} 最少需要編輯 #{res} 步"
+
+  # 動態規劃
+  res = edit_distance_dp(s, t)
+  puts "將 #{s} 更改為 #{t} 最少需要編輯 #{res} 步"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = edit_distance_dp_comp(s, t)
+  puts "將 #{s} 更改為 #{t} 最少需要編輯 #{res} 步"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/knapsack.rb

@@ -0,0 +1,99 @@
+=begin
+File: knapsack.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 0-1 背包：暴力搜尋 ###
+def knapsack_dfs(wgt, val, i, c)
+  # 若已選完所有物品或背包無剩餘容量，則返回價值 0
+  return 0 if i == 0 || c == 0
+  # 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包
+  return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c) if wgt[i - 1] > c
+  # 計算不放入和放入物品 i 的最大價值
+  no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
+  yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
+  # 返回兩種方案中價值更大的那一個
+  [no, yes].max
+end
+
+### 0-1 背包：記憶化搜尋 ###
+def knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i, c)
+  # 若已選完所有物品或背包無剩餘容量，則返回價值 0
+  return 0 if i == 0 || c == 0
+  # 若已有記錄，則直接返回
+  return mem[i][c] if mem[i][c] != -1
+  # 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包
+  return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c) if wgt[i - 1] > c
+  # 計算不放入和放入物品 i 的最大價值
+  no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
+  yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
+  # 記錄並返回兩種方案中價值更大的那一個
+  mem[i][c] = [no, yes].max
+end
+
+### 0-1 背包：動態規劃 ###
+def knapsack_dp(wgt, val, cap)
+  n = wgt.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, 0) }
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    for c in 1...(cap + 1)
+      if wgt[i - 1] > c
+        # 若超過背包容量，則不選物品 i
+        dp[i][c] = dp[i - 1][c]
+      else
+        # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+        dp[i][c] = [dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][cap]
+end
+
+### 0-1 背包：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+  n = wgt.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(cap + 1, 0)
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 倒序走訪
+    for c in cap.downto(1)
+      if wgt[i - 1] > c
+        # 若超過背包容量，則不選物品 i
+        dp[c] = dp[c]
+      else
+        # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+        dp[c] = [dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
+      end
+    end
+  end
+  dp[cap]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  wgt = [10, 20, 30, 40, 50]
+  val = [50, 120, 150, 210, 240]
+  cap = 50
+  n = wgt.length
+
+  # 暴力搜尋
+  res = knapsack_dfs(wgt, val, n, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+
+  # 記憶化搜尋
+  mem = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, -1) }
+  res = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, n, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+
+  # 動態規劃
+  res = knapsack_dp(wgt, val, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/min_cost_climbing_stairs_dp.rb

@@ -0,0 +1,39 @@
+=begin
+File: min_cost_climbing_stairs_dp.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 爬樓梯最小代價：動態規劃 ###
+def min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
+  n = cost.length - 1
+  return cost[n] if n == 1 || n == 2
+  # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+  dp = Array.new(n + 1, 0)
+  # 初始狀態：預設最小子問題的解
+  dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
+  # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+  (3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = [dp[i - 1], dp[i - 2]].min + cost[i] }
+  dp[n]
+end
+
+# 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃
+def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost)
+  n = cost.length - 1
+  return cost[n] if n == 1 || n == 2
+  a, b = cost[1], cost[2]
+  (3...(n + 1)).each { |i| a, b = b, [a, b].min + cost[i] }
+  b
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  cost = [0, 1, 10, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 10, 1]
+  puts "輸入樓梯的代價串列為 #{cost}"
+
+  res = min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
+  puts "爬完樓梯的最低代價為 #{res}"
+
+  res = min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost)
+  puts "爬完樓梯的最低代價為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/min_path_sum.rb

@@ -0,0 +1,93 @@
+=begin
+File: min_path_sum.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 最小路徑和：暴力搜尋 ###
+def min_path_sum_dfs(grid, i, j)
+  # 若為左上角單元格，則終止搜尋
+  return grid[i][j] if i == 0 && j == 0
+  # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
+  return Float::INFINITY if i < 0 || j < 0
+  # 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
+  up = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j)
+  left = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1)
+  # 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
+  [left, up].min + grid[i][j]
+end
+
+### 最小路徑和：記憶化搜尋 ###
+def min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j)
+  # 若為左上角單元格，則終止搜尋
+  return grid[0][0] if i == 0 && j == 0
+  # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
+  return Float::INFINITY if i < 0 || j < 0
+  # 若已有記錄，則直接返回
+  return mem[i][j] if mem[i][j] != -1
+  # 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
+  up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j)
+  left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1)
+  # 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
+  mem[i][j] = [left, up].min + grid[i][j]
+end
+
+### 最小路徑和：動態規劃 ###
+def min_path_sum_dp(grid)
+  n, m = grid.length, grid.first.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n) { Array.new(m, 0) }
+  dp[0][0] = grid[0][0]
+  # 狀態轉移：首行
+  (1...m).each { |j| dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j] }
+  # 狀態轉移：首列
+  (1...n).each { |i| dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0] }
+  # 狀態轉移：其餘行和列
+  for i in 1...n
+    for j in 1...m
+      dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]].min + grid[i][j]
+    end
+  end
+  dp[n -1][m -1]
+end
+
+### 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def min_path_sum_dp_comp(grid)
+  n, m = grid.length, grid.first.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(m, 0)
+  # 狀態轉移：首行
+  dp[0] = grid[0][0]
+  (1...m).each { |j| dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j] }
+  # 狀態轉移：其餘行
+  for i in 1...n
+    # 狀態轉移：首列
+    dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
+    # 狀態轉移：其餘列
+    (1...m).each { |j| dp[j] = [dp[j - 1], dp[j]].min + grid[i][j] }
+  end
+  dp[m - 1]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  grid = [[1, 3, 1, 5], [2, 2, 4, 2], [5, 3, 2, 1], [4, 3, 5, 2]]
+  n, m = grid.length, grid.first.length
+
+  # 暴力搜尋
+  res = min_path_sum_dfs(grid, n - 1, m - 1)
+  puts "從左上角到右下角的做小路徑和為 #{res}"
+
+  # 記憶化搜尋
+  mem = Array.new(n) { Array.new(m, - 1) }
+  res = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, n - 1, m -1)
+  puts "從左上角到右下角的做小路徑和為 #{res}"
+
+  # 動態規劃
+  res = min_path_sum_dp(grid)
+  puts "從左上角到右下角的做小路徑和為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = min_path_sum_dp_comp(grid)
+  puts "從左上角到右下角的做小路徑和為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack.rb

@@ -0,0 +1,61 @@
+=begin
+File: unbounded_knapsack.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 完全背包：動態規劃 ###
+def unbounded_knapsack_dp(wgt, val, cap)
+  n = wgt.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, 0) }
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    for c in 1...(cap + 1)
+      if wgt[i - 1] > c
+        # 若超過背包容量，則不選物品 i
+        dp[i][c] = dp[i - 1][c]
+      else
+        # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+        dp[i][c] = [dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][cap]
+end
+
+### 完全背包：空間最佳化後的動態規劃 ##3
+def unbounded_knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+  n = wgt.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(cap + 1, 0)
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 正序走訪
+    for c in 1...(cap + 1)
+      if wgt[i -1] > c
+        # 若超過背包容量，則不選物品 i
+        dp[c] = dp[c]
+      else
+        # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+        dp[c] = [dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
+      end
+    end
+  end
+  dp[cap]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  wgt = [1, 2, 3]
+  val = [5, 11, 15]
+  cap = 4
+
+  # 動態規劃
+  res = unbounded_knapsack_dp(wgt, val, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = unbounded_knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+end