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docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

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 ## 问题判断
 
-总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解，但我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，**先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决**。
+总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解。然而，我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，**先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决**。
 
 **适合用回溯解决的问题通常满足“决策树模型”**，这种问题可以使用树形结构来描述，其中每一个节点代表一个决策，每一条路径代表一个决策序列。
 
 换句话说，如果问题包含明确的决策概念，并且解是通过一系列决策产生的，那么它就满足决策树模型，通常可以使用回溯来解决。
 
-在此基础上，还有一些判断问题是动态规划问题的“加分项”，包括：
+在此基础上，还有一些动态规划问题的“加分项”，包括：
 
-- 问题包含最大（小）或最多（少）等最优化描述；
-- 问题的状态能够使用一个列表、多维矩阵或树来表示，并且一个状态与其周围的状态存在某种递推关系；
+- 问题包含最大（小）或最多（少）等最优化描述。
+- 问题的状态能够使用一个列表、多维矩阵或树来表示，并且一个状态与其周围的状态存在递推关系。
 
 而相应的“减分项”包括：
 
 - 问题的目标是找出所有可能的解决方案，而不是找出最优解。
 - 问题描述中有明显的排列组合的特征，需要返回具体的多个方案。
 
-如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并尝试求解它。
+如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并在求解过程中验证它。
 
 ## 问题求解步骤
 
-动态规划的解题流程可能会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 $dp$ 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。
+动态规划的解题流程会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 $dp$ 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。
 
 为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题「最小路径和」来举例。
 
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 !!! note
 
-    动态规划和回溯通常都会被描述为一个决策序列，而状态通常由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进度的所有变量，其包含了足够的信息，能够用来推导出下一个状态。
+    动态规划和回溯过程可以被描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进度的所有变量，其包含了足够的信息，能够用来推导出下一个状态。
     
-    每个状态都对应一个子问题，我们会定义一个 $dp$ 表来存储所有子问题的解，状态的每个独立变量都是 $dp$ 表的一个维度。本质上看，$dp$ 表是子问题的解和状态之间的映射。
+    每个状态都对应一个子问题，我们会定义一个 $dp$ 表来存储所有子问题的解，状态的每个独立变量都是 $dp$ 表的一个维度。本质上看，$dp$ 表是状态和子问题的解之间的映射。
 
 **第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
 
@@ -69,29 +69,32 @@ $$
 
 !!! note
 
-    基于定义好的 $dp$ 表，我们思考原问题和子问题的关系，找出如何通过子问题的解来构造原问题的解。
-    
-    最优子结构揭示了原问题和子问题的递推关系，一旦我们找到了最优子结构，就可以使用它来构建出状态转移方程。
+    根据定义好的 $dp$ 表，思考原问题和子问题的关系，找出通过子问题的最优解来构造原问题的最优解的方法，即最优子结构。
+
+    一旦我们找到了最优子结构，就可以使用它来构建出状态转移方程。
 
 **第三步：确定边界条件和状态转移顺序**
 
-在本题中，当 $i=0$ 或 $j=0$ 时只有一种可能的路径，即只能向右移动或只能向下移动，因此首行和首列是边界条件。
+在本题中，处在首行的状态只能向右转移，首列状态只能向下转移，因此首行 $i = 0$ 和首列 $j = 0$ 是边界条件。
 
-每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用两层循环来遍历矩阵即可，即外循环正序遍历各行、内循环正序遍历各列。
+每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。
 
 ![边界条件与状态转移顺序](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step3.png)
 
 !!! note
 
-    边界条件即初始状态，在搜索中用于剪枝，在动态规划中用于初始化 $dp$ 表。状态转移顺序的核心是要保证在计算当前问题时，所有它依赖的更小子问题都已经被正确地计算出来。
+    边界条件在动态规划中用于初始化 $dp$ 表，在搜索中用于剪枝。
+    
+    状态转移顺序的核心是要保证在计算当前问题的解时，所有它依赖的更小子问题的解都已经被正确地计算出来。
 
-接下来，我们就可以实现动态规划代码了。然而，由于子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 $\rightarrow$ 记忆化搜索 $\rightarrow$ 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。
+根据以上分析，我们已经可以直接写出动态规划代码。然而子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 $\rightarrow$ 记忆化搜索 $\rightarrow$ 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。
 
 ### 方法一：暴力搜索
 
 从状态 $[i, j]$ 开始搜索，不断分解为更小的状态 $[i-1, j]$ 和 $[i, j-1]$ ，包括以下递归要素：
 
-- **递归参数**：状态 $[i, j]$ ；**返回值**：从 $[0, 0]$ 到 $[i, j]$ 的最小路径和 $dp[i, j]$ ；
+- **递归参数**：状态 $[i, j]$ ；
+- **返回值**：从 $[0, 0]$ 到 $[i, j]$ 的最小路径和 $dp[i, j]$ ；
 - **终止条件**：当 $i = 0$ 且 $j = 0$ 时，返回代价 $grid[0, 0]$ ；
 - **剪枝**：当 $i < 0$ 时或 $j < 0$ 时索引越界，此时返回代价 $+\infty$ ，代表不可行；
 
@@ -161,9 +164,9 @@ $$
     [class]{}-[func]{minPathSumDFS}
     ```
 
-我们尝试画出以 $dp[2, 1]$ 为根节点的递归树。观察下图，递归树包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 `grid` 的尺寸变大而急剧增多。
+下图给出了以 $dp[2, 1]$ 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 `grid` 的尺寸变大而急剧增多。
 
-直观上看，**存在多条路径可以从左上角到达同一单元格**，这便是该问题存在重叠子问题的内在原因。
+本质上看，造成重叠子问题的原因为：**存在多条路径可以从左上角到达某一单元格**。
 
 ![暴力搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs.png)
 
@@ -171,7 +174,7 @@ $$
 
 ### 方法二：记忆化搜索
 
-为了避免重复计算重叠子问题，我们引入一个和网格 `grid` 相同尺寸的记忆列表 `mem` ，用于记录各个子问题的解，提升搜索效率。
+我们引入一个和网格 `grid` 相同尺寸的记忆列表 `mem` ，用于记录各个子问题的解，并将重叠子问题进行剪枝。
 
 === "Java"
 
@@ -239,13 +242,13 @@ $$
     [class]{}-[func]{minPathSumDFSMem}
     ```
 
-如下图所示，引入记忆化可以消除所有重复计算，时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
+引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
 
 ![记忆化搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png)
 
 ### 方法三：动态规划
 
-动态规划代码是从底至顶的，仅需循环即可实现。
+基于迭代实现动态规划解法。
 
 === "Java"
 
@@ -313,7 +316,9 @@ $$
     [class]{}-[func]{minPathSumDP}
     ```
 
-下图展示了最小路径和的状态转移过程。该过程遍历了整个网格，因此时间复杂度为 $O(nm)$ ；数组 `dp` 使用 $O(nm)$ 空间。
+下图展示了最小路径和的状态转移过程，其遍历了整个网格，**因此时间复杂度为 $O(nm)$** 。
+
+数组 `dp` 大小为 $n \times m$ ，**因此空间复杂度为 $O(nm)$** 。
 
 === "<1>"
     ![最小路径和的动态规划过程](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dp_step1.png)
@@ -353,9 +358,9 @@ $$
 
 ### 状态压缩
 
-如果希望进一步节省空间使用，可以考虑进行状态压缩。每个格子只与左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 $dp$ 表。
+由于每个格子只与其左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 $dp$ 表。
 
-由于数组 `dp` 只能表示一行的状态，因此我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。
+请注意，因为数组 `dp` 只能表示一行的状态，所以我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。
 
 === "Java"