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krahets
2023-07-11 19:21:38 +08:00
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@ -1961,6 +1961,8 @@
@ -2039,6 +2041,20 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
13.5. &nbsp; 完全背包问题New
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
@ -2231,7 +2247,7 @@
<h1 id="122">12.2. &nbsp; 全排列问题<a class="headerlink" href="#122" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p>全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合(如一个数组或字符串)的情况下,找出这个集合中元素的所有可能的排列。</p>
<p>下表所示,列举了几个示例数组和对应的所有排列。</p>
<p>下表列举了几个示例数据,包括输入数组和对应的所有排列。</p>
<div class="center-table">
<table>
<thead>
@ -2559,7 +2575,7 @@
</div>
</div>
<p>需要重点关注的是,我们引入了一个布尔型数组 <code>selected</code> ,它的长度与输入数组长度相等,其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择。我们利用 <code>selected</code> 避免某个元素被重复选择,从而实现剪枝。</p>
<p>如下图所示,假设我们第一轮选择 1 ,第二轮选择 3 ,第三轮选择 2 ,则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支,在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。<strong>从本质上理解,此剪枝操作可将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span></strong></p>
<p>如下图所示,假设我们第一轮选择 1 ,第二轮选择 3 ,第三轮选择 2 ,则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支,在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。<strong>此剪枝操作可将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span></strong></p>
<p><img alt="全排列剪枝示例" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>
@ -2572,7 +2588,7 @@
<p><img alt="重复排列" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 重复排列 </p>
<p>那么,如何去除重复的排列呢?最直接地,我们可以借助一个哈希表,直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅,因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的,应当被提前识别并剪枝,这样可以提升算法效率。</p>
<p>那么,如何去除重复的排列呢?最直接地,我们可以借助一个哈希表,直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅,<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的,应当被提前识别并剪枝</strong>,这样可以进一步提升算法效率。</p>
<p>观察发现,在第一轮中,选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的,因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此,我们应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。同理,在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 后,第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span><span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支,因此也需要将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
<p><img alt="重复排列剪枝" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 重复排列剪枝 </p>