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2025-07-14 11:36:08 +08:00 · 2023-07-11 19:21:38 +08:00
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--- a/chapter_backtracking/backtracking_algorithm/index.html
+++ b/chapter_backtracking/backtracking_algorithm/index.html
@ -1870,14 +1870,14 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1215" class="md-nav__link">
-    12.1.5. &nbsp; 典型例题
+    12.1.5. &nbsp; 优势与局限性
  </a>
  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1216" class="md-nav__link">
-    12.1.6. &nbsp; 优势与局限性
+    12.1.6. &nbsp; 典型例题
  </a>
  
 </li>
@ -1982,6 +1982,8 @@
        
          
        
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
+  
+
+            
+          
        </ul>
      </nav>
    </li>
@ -2236,14 +2252,14 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1215" class="md-nav__link">
-    12.1.5. &nbsp; 典型例题
+    12.1.5. &nbsp; 优势与局限性
  </a>
  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1216" class="md-nav__link">
-    12.1.6. &nbsp; 优势与局限性
+    12.1.6. &nbsp; 典型例题
  </a>
  
 </li>
@ -2273,7 +2289,7 @@

 <h1 id="121">12.1. &nbsp; 回溯算法<a class="headerlink" href="#121" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>「回溯算法 Backtracking Algorithm」是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择都无法找到解为止。</p>
-<p>回溯算法通常采用「深度优先搜索」来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。下面，我们将从前序遍历入手，逐步了解回溯算法的工作原理。</p>
+<p>回溯算法通常采用「深度优先搜索」来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。接下来我们先用前序遍历构造一个回溯问题，逐步了解回溯算法的工作原理。</p>
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">例题一</p>
 <p>给定一个二叉树，搜索并记录所有值为 <span class="arithmatex">\(7\)</span> 的节点，返回节点列表。</p>
@ -3542,7 +3558,19 @@
 </div>
 </div>
 <p>相较于基于前序遍历的实现代码，基于回溯算法框架的实现代码虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，<strong>所有回溯问题都可以在该框架下解决</strong>。我们需要根据具体问题来定义 <code>state</code> 和 <code>choices</code> ，并实现框架中的各个方法。</p>
-<h2 id="1215">12.1.5. &nbsp; 典型例题<a class="headerlink" href="#1215" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h2 id="1215">12.1.5. &nbsp; 优势与局限性<a class="headerlink" href="#1215" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<p>回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。</p>
+<p>然而，在处理大规模或者复杂问题时，<strong>回溯算法的运行效率可能难以接受</strong>。</p>
+<ul>
+<li>在最坏的情况下，回溯算法需要遍历解空间的所有可能解，所需时间很长。例如，求解 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 皇后问题的时间复杂度可以达到 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span> 。</li>
+<li>在每一次递归调用时，都需要保存当前的状态（例如选择路径、用于剪枝的辅助变量等），对于深度很大的递归，空间需求可能会变得非常大。</li>
+</ul>
+<p>即便如此，<strong>回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案</strong>。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，<strong>关键是如何进行效率优化</strong>：</p>
+<ul>
+<li>上文介绍过的剪枝是一种常用的优化方法。它可以避免搜索那些肯定不会产生有效解的路径，从而节省时间和空间。</li>
+<li>另一个常用的优化方法是加入「启发式搜索 Heuristic Search」策略，它在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。</li>
+</ul>
+<h2 id="1216">12.1.6. &nbsp; 典型例题<a class="headerlink" href="#1216" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p><strong>搜索问题</strong>：这类问题的目标是找到满足特定条件的解决方案。</p>
 <ul>
 <li>全排列问题：给定一个集合，求出其所有可能的排列组合。</li>
@ -3562,14 +3590,6 @@
 <li>最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。</li>
 </ul>
 <p>请注意，回溯算法通常不是解决组合优化问题的最优方法。0-1 背包问题通常使用动态规划解决；旅行商是一个 NP-Hard 问题，常用解决方法有遗传算法和蚁群算法等；最大团问题是图轮中的一个经典 NP-Hard 问题，通常用贪心算法等启发式算法来解决。</p>
-<h2 id="1216">12.1.6. &nbsp; 优势与局限性<a class="headerlink" href="#1216" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。</p>
-<p>然而，在处理大规模或者复杂问题时，<strong>回溯算法的运行效率可能难以接受</strong>。这是因为在最坏的情况下，回溯算法需要遍历解空间的所有可能解。例如，求解 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 皇后问题的时间复杂度可以达到 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span> 。回溯算法的空间复杂度也可能较高。因为在每一次递归调用时，都需要保存当前的状态（例如选择路径、用于剪枝的辅助变量等），对于深度很大的递归，空间需求可能会变得非常大。</p>
-<p>即便如此，<strong>回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案</strong>。对于这些问题，由于我们无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，<strong>关键是如何进行效率优化</strong>：</p>
-<ul>
-<li>上文介绍过的剪枝是一种常用的优化方法。它可以避免搜索那些肯定不会产生有效解的路径，从而节省时间和空间。</li>
-<li>另一个常用的优化方法是加入「启发式搜索 Heuristic Search」策略，它在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。</li>
-</ul>



--- a/chapter_backtracking/index.html
+++ b/chapter_backtracking/index.html
@ -1906,6 +1906,8 @@
        
          
        
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
+  
+
+            
+          
        </ul>
      </nav>
    </li>
--- a/chapter_backtracking/n_queens_problem/index.html
+++ b/chapter_backtracking/n_queens_problem/index.html
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+        
      
      
        
@ -2025,6 +2027,20 @@

            
          
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+              
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
+  
+
+            
+          
        </ul>
      </nav>
    </li>
--- a/chapter_backtracking/permutations_problem/index.html
+++ b/chapter_backtracking/permutations_problem/index.html
@ -1961,6 +1961,8 @@
        
          
        
+          
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+            
+              
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+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
+  
+
+            
+          
        </ul>
      </nav>
    </li>
@ -2231,7 +2247,7 @@

 <h1 id="122">12.2. &nbsp; 全排列问题<a class="headerlink" href="#122" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。</p>
-<p>如下表所示，列举了几个示例数组和其对应的所有排列。</p>
+<p>下表列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。</p>
 <div class="center-table">
 <table>
 <thead>
@ -2559,7 +2575,7 @@
 </div>
 </div>
 <p>需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 <code>selected</code> ，它的长度与输入数组长度相等，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择。我们利用 <code>selected</code> 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。</p>
-<p>如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。<strong>从本质上理解，此剪枝操作可将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span></strong> 。</p>
+<p>如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。<strong>此剪枝操作可将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span></strong> 。</p>
 <p><img alt="全排列剪枝示例" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>

@ -2572,7 +2588,7 @@
 <p><img alt="重复排列" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 重复排列 </p>

-<p>那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而，这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以提升算法效率。</p>
+<p>那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
 <p>观察发现，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。同理，在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 后，第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
 <p><img alt="重复排列剪枝" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 重复排列剪枝 </p>
--- a/chapter_backtracking/subset_sum_problem/index.html
+++ b/chapter_backtracking/subset_sum_problem/index.html
@ -1961,6 +1961,8 @@
        
          
        
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@ -2039,6 +2041,20 @@

            
          
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
+  
+
+            
+          
        </ul>
      </nav>
    </li>
--- a/chapter_backtracking/summary/index.html
+++ b/chapter_backtracking/summary/index.html
@ -1916,6 +1916,8 @@
        
          
        
+          
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@ -1994,6 +1996,20 @@

            
          
+            
+              
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
+  
+
+            
+          
        </ul>
      </nav>
    </li>