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introduction, computational complexity.

docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md

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 # 空间复杂度
 
-「空间复杂度 Space Complexity」用于衡量算法占用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似，只需将“运行时间”替换为“占用内存空间”。
+「空间复杂度 space complexity」用于衡量算法占用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似，只需将“运行时间”替换为“占用内存空间”。
 
 ## 算法相关空间
 
-算法运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种：
+算法在运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种。
 
 - **输入空间**：用于存储算法的输入数据。
-- **暂存空间**：用于存储算法运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据。
+- **暂存空间**：用于存储算法在运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据。
 - **输出空间**：用于存储算法的输出数据。
 
 一般情况下，空间复杂度的统计范围是“暂存空间”加上“输出空间”。
 
-暂存空间可以进一步划分为三个部分：
+暂存空间可以进一步划分为三个部分。
 
 - **暂存数据**：用于保存算法运行过程中的各种常量、变量、对象等。
 - **栈帧空间**：用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。
 - **指令空间**：用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。
 
-因此在分析一段程序的空间复杂度时，**我们通常统计暂存数据、输出数据、栈帧空间三部分**。
+在分析一段程序的空间复杂度时，**我们通常统计暂存数据、栈帧空间和输出数据三部分**。
 
 ![算法使用的相关空间](space_complexity.assets/space_types.png)
 
@@ -288,7 +288,7 @@
 
 ## 推算方法
 
-空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从“计算操作数量”转为“使用空间大小”。
+空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从“操作数量”转为“使用空间大小”。
 
 而与时间复杂度不同的是，**我们通常只关注「最差空间复杂度」**。这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
 
@@ -426,7 +426,7 @@
 
     ```
 
-**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如以下代码：
+**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如在以下代码中：
 
 - 函数 `loop()` 在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
 - 递归函数 `recur()` 在运行过程中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而占用 $O(n)$ 的栈帧空间。
@@ -652,7 +652,7 @@
 
 ## 常见类型
 
-设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）：
+设输入数据大小为 $n$ ，下图展示了常见的空间复杂度类型（从低到高排列）。
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -661,17 +661,17 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
 \end{aligned}
 $$
 
-![空间复杂度的常见类型](space_complexity.assets/space_complexity_common_types.png)
+![常见的空间复杂度类型](space_complexity.assets/space_complexity_common_types.png)
 
 !!! tip
 
-    部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果你遇到看不懂的地方，可以在学习完后面章节后再来复习。
+    部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果你遇到看不懂的地方，可以在学完后面章节后再来复习。
 
 ### 常数阶 $O(1)$
 
 常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。
 
-需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
+需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ ：
 
 === "Java"
 
@@ -771,7 +771,7 @@ $$
 
 ### 线性阶 $O(n)$
 
-线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
+线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等：
 
 === "Java"
 
@@ -847,7 +847,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{linear}
     ```
 
-以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
+以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间：
 
 === "Java"
 
@@ -925,7 +925,7 @@ $$
 
 ### 平方阶 $O(n^2)$
 
-平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 $n$ 成平方关系。
+平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 $n$ 成平方关系：
 
 === "Java"
 
@@ -1077,7 +1077,7 @@ $$
 
 ### 指数阶 $O(2^n)$
 
-指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的节点数量为 $2^n - 1$ ，占用 $O(2^n)$ 空间。
+指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的节点数量为 $2^n - 1$ ，占用 $O(2^n)$ 空间：
 
 === "Java"
 
@@ -1157,9 +1157,9 @@ $$
 
 对数阶常见于分治算法和数据类型转换等。
 
-例如“归并排序”算法，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
+例如归并排序算法，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
 
-再例如“数字转化为字符串”，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。
+再例如将数字转化为字符串，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n + 1$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n + 1$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n + 1) = O(\log n)$ 。
 
 ## 权衡时间与空间
 
@@ -1167,4 +1167,4 @@ $$
 
 **降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。
 
-选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
+选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此“以空间换时间”通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。