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docs/chapter_tree/binary_tree.md

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 # 二叉树
 
-「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以节点为单位存储的，节点包含「值」和两个「指针」。
+「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含一个「值」和两个「指针」。
 
 === "Java"
 
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     ```
 
-节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，并且称该节点为两个子节点的「父节点」。给定二叉树某节点，将“左子节点及其以下节点形成的树”称为该节点的「左子树」，右子树同理。
+节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，同时该节点被称为这两个子节点的「父节点」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树」，同理可得「右子树」。
 
-除了叶节点外，每个节点都有子节点和子树。例如，若将下图的“节点 2”看作父节点，那么其左子节点和右子节点分别为“节点 4”和“节点 5”，左子树和右子树分别为“节点 4 及其以下节点形成的树”和“节点 5 及其以下节点形成的树”。
+**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。例如，在以下示例中，若将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
 
 ![父节点、子节点、子树](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
 
 ## 二叉树常见术语
 
-二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。
+二叉树涉及的术语较多，建议尽量理解并记住。
 
-- 「根节点 Root Node」：二叉树最顶层的节点，其没有父节点；
-- 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
-- 节点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根节点所处层为 1 ；
-- 节点「度 Degree」：节点的子节点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
-- 「边 Edge」：连接两个节点的边，即节点指针；
-- 二叉树「高度」：二叉树中根节点到最远叶节点走过边的数量；
-- 节点「深度 Depth」 ：根节点到该节点走过边的数量；
-- 节点「高度 Height」：最远叶节点到该节点走过边的数量；
+- 「根节点 Root Node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点；
+- 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 $\text{null}$ ；
+- 节点的「层 Level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 ；
+- 节点的「度 Degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
+- 「边 Edge」：连接两个节点的线段，即节点指针；
+- 二叉树的「高度」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量；
+- 节点的「深度 Depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量；
+- 节点的「高度 Height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量；
 
 ![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
 
 !!! tip "高度与深度的定义"
 
-    值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过节点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
+    请注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
 
 ## 二叉树基本操作
 
-**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化节点，再构建引用指向（即指针）。
+**初始化二叉树**。与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用指向（即指针）。
 
 === "Java"
 
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     ```
 
-**插入与删除节点**。与链表类似，插入与删除节点都可以通过修改指针实现。
+**插入与删除节点**。与链表类似，通过修改指针来实现插入与删除节点。
 
 ![在二叉树中插入与删除节点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
 
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 !!! note
 
-    插入节点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除节点往往意味着删除了该节点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
+    需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。
 
 ## 常见二叉树类型
 
 ### 完美二叉树
 
-「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度 $= h$ ，则节点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
+「完美二叉树 Perfect Binary Tree」除了最底层外，其余所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
 
 !!! tip
 
-    在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。
+    在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意区分。
 
 ![完美二叉树](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)
 
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 「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
 
-**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空节点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
-
 ![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
 
 ### 完满二叉树
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 ### 平衡二叉树
 
-「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
+「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
 
 ![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)
 
 ## 二叉树的退化
 
-当二叉树的每层的节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
+当二叉树的每层节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为「链表」。
 
-- 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
+- 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势；
 - 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；
 
 ![二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)
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 ## 二叉树表示方式 *
 
-我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
+我们通常使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
 
-那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的「映射公式」：**设节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ 、右子节点索引为 $2i + 2$** 。
+那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。
 
-**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问子节点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
+**本质上，映射公式的作用相当于链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问其子节点。因此，我们可以将二叉树的层序遍历序列存储到数组中，利用以上映射公式来表示二叉树。
 
 ![完美二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)
 
-然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空节点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空节点，并且我们无法单凭序列来猜测空节点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
+然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 $\text{null}$ ，而层序遍历序列并不包含这些 $\text{null}$ 。我们无法仅凭序列来推测空节点的数量和分布位置，**这意味着理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，在这种情况下，我们无法使用数组来存储二叉树。
 
 ![给定数组对应多种二叉树可能性](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
 
-为了解决此问题，考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，**即在序列中使用特殊符号来显式地表示“空位”**。如下图所示，这样处理后，序列（数组）就可以唯一表示二叉树了。
+为了解决这个问题，我们可以考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，**并在序列中使用特殊符号来显式地表示 $\text{null}$**。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
 
 === "Java"
 
@@ -561,8 +559,8 @@
 
 ![任意类型二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
 
-回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空节点，并且最底层的节点尽量靠左，因而所有空节点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
+**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾「完全二叉树」的定义，$\text{null}$ 只出现在最底层，并且最底层的节点尽量靠左。这意味着，**所有空节点一定出现在层序遍历序列的末尾**。由于我们事先知道了所有 $\text{null}$ 的位置，因此在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储它们。
 
 ![完全二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
 
-数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问节点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少节点的数据，空间利用率很低。
+数组表示具有两个显著优点：首先，它不需要存储指针，从而节省了空间；其次，它允许随机访问节点。然而，当二叉树中存在大量 $\text{null}$ 时，数组中包含的节点数据比重较低，导致有效空间利用率降低。