Polish the chapter of stack_and_queue, tree

docs/chapter_tree/binary_search_tree.md

@@ -3,7 +3,7 @@
 「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
 
 1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值；
-2. 任意节点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 `1.` ；
+2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` ；
 
 ![二叉搜索树](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png)
 
@@ -15,10 +15,10 @@
 
 - 若 `cur.val < num` ，说明目标节点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` ；
 - 若 `cur.val > num` ，说明目标节点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` ；
-- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点即可；
+- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点；
 
 === "<1>"
-    ![查找节点步骤](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png)
+    ![bst_search_step1](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png)
 
 === "<2>"
     ![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png)
@@ -29,7 +29,7 @@
 === "<4>"
     ![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png)
 
-二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。
+二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。
 
 === "Java"
 
@@ -95,10 +95,10 @@
 
 给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
 
-1. **查找插入位置**：与查找操作类似，我们从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历到 $\text{null}$ ）时跳出循环；
-2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点放到 $\text{null}$ 的位置 ；
+1. **查找插入位置**：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 $\text{null}$ ）时跳出循环；
+2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点置于 $\text{null}$ 的位置；
 
-二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将会违背其定义。因此若待插入节点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。
+二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
 
 ![在二叉搜索树中插入节点](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)
 
@@ -162,30 +162,30 @@
     [class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
     ```
 
-为了插入节点，需要借助 **辅助节点 `pre`** 保存上一轮循环的节点，这样在遍历到 $\text{null}$ 时，我们也可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
+为了插入节点，我们需要利用辅助节点 `pre` 保存上一轮循环的节点，这样在遍历至 $\text{null}$ 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
 
 与查找节点相同，插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。
 
 ### 删除节点
 
-与插入节点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需要分为三种情况：
+与插入节点类似，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需分为三种情况：
 
-**当待删除节点的子节点数量 $= 0$ 时**，表明待删除节点是叶节点，直接删除即可。
+当待删除节点的子节点数量 $= 0$ 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。
 
 ![在二叉搜索树中删除节点（度为 0）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)
 
-**当待删除节点的子节点数量 $= 1$ 时**，将待删除节点替换为其子节点即可。
+当待删除节点的子节点数量 $= 1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
 
 ![在二叉搜索树中删除节点（度为 1）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)
 
-**当待删除节点的子节点数量 $= 2$ 时**，删除操作分为三步：
+当待删除节点的子节点数量 $= 2$ 时，删除操作分为三步：
 
-1. 找到待删除节点在 **中序遍历序列** 中的下一个节点，记为 `nex` ；
+1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 nex；
 2. 在树中递归删除节点 `nex` ；
 3. 使用 `nex` 替换待删除节点；
 
 === "<1>"
-    ![删除节点（度为 2）步骤](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png)
+    ![bst_remove_case3_step1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png)
 
 === "<2>"
     ![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png)
@@ -196,7 +196,7 @@
 === "<4>"
     ![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png)
 
-删除节点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继节点 $O(\log n)$ 。
+删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。
 
 === "Java"
 
@@ -280,29 +280,29 @@
 
 ### 排序
 
-我们知道，「中序遍历」遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一条重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
+我们知道，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
 
-借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，而无需额外排序，非常高效。
+利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，无需额外排序，非常高效。
 
 ![二叉搜索树的中序遍历序列](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png)
 
 ## 二叉搜索树的效率
 
-假设给定 $n$ 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：
+假设给定 $n$ 个数字，最常见的存储方式是「数组」。对于这串乱序的数字，常见操作的效率如下：
 
 - **查找元素**：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；
 - **插入元素**：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 $O(1)$ 时间；
 - **删除元素**：先查找元素，使用 $O(n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
 - **获取最小 / 最大元素**：需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；
 
-为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：
+为了获得先验信息，我们可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」。此时操作效率如下：
 
 - **查找元素**：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 $O(\log n)$ 时间；
 - **插入元素**：先查找插入位置，使用 $O(\log n)$ 时间，再插入到指定位置，使用 $O(n)$ 时间；
 - **删除元素**：先查找元素，使用 $O(\log n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
 - **获取最小 / 最大元素**：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 $O(1)$ 时间；
 
-观察发现，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度是“偏科”的，即有的快有的慢；**而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 $n$ 很大时有巨大优势**。
+观察可知，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度呈现“偏科”的特点，即有的快有的慢。**然而，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 $n$ 较大时具有显著优势**。
 
 <div class="center-table" markdown>
 
@@ -317,18 +317,14 @@
 
 ## 二叉搜索树的退化
 
-理想情况下，我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
+在理想情况下，我们希望二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
 
-如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除节点，**则可能导致二叉树退化为链表**，此时各种操作的时间复杂度也退化之 $O(n)$ 。
-
-!!! note
-
-    在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。
+然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
 
 ![二叉搜索树的平衡与退化](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png)
 
 ## 二叉搜索树常见应用
 
-- 系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作。
-- 各种搜索算法的底层数据结构。
-- 存储数据流，保持其已排序。
+- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
+- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
+- 用于存储数据流，以保持其有序状态。