Finetune the chapter of hashing,

divide and conquer, backtracking, tree

docs/chapter_hashing/hash_algorithm.md

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 # 哈希算法
 
-在上两节中，我们了解了哈希表的工作原理，以及哈希冲突的处理方法。然而，无论是开放寻址还是链地址法，**它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作，但无法减少哈希冲突的发生**。
+在上两节中，我们了解了哈希表的工作原理和哈希冲突的处理方法。然而无论是开放寻址还是链地址法，**它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作，但无法减少哈希冲突的发生**。
 
-如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。例如对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最好的查询效率；最差情况下全部键值都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
+如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最佳查询效率；最差情况下所有键值对都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
 
 ![哈希冲突的最佳与最差情况](hash_algorithm.assets/hash_collision_best_worst_condition.png)
 
-**键值对的分布情况是由哈希函数决定的**。回忆哈希函数的计算步骤，先计算哈希值，再对数组长度取模：
+**键值对的分布情况由哈希函数决定**。回忆哈希函数的计算步骤，先计算哈希值，再对数组长度取模：
 
 ```shell
 index = hash(key) % capacity
 ```
 
-观察以上公式，当哈希表容量 `capacity` 固定时，**哈希算法 `hash()` 决定了输出值**，进而决定了键值对在哈希表中的分布。因此，为了减小哈希冲突的发生概率，我们需要将注意力集中在哈希算法 `hash()` 的设计上。
+观察以上公式，当哈希表容量 `capacity` 固定时，**哈希算法 `hash()` 决定了输出值**，进而决定了键值对在哈希表中的分布情况。
+
+这意味着，为了减小哈希冲突的发生概率，我们应当将注意力集中在哈希算法 `hash()` 的设计上。
 
 ## 哈希算法的目标
 
-为了在编程语言中实现“既快又稳”的哈希表数据结构，哈希算法应包含以下特点：
+为了实现“既快又稳”的哈希表数据结构，哈希算法应包含以下特点：
 
 - **确定性**：对于相同的输入，哈希算法应始终产生相同的输出。这样才能确保哈希表是可靠的。
 - **效率高**：计算哈希值的过程应该足够快。计算开销越小，哈希表的实用性越高。
 - **均匀分布**：哈希算法应使得键值对平均分布在哈希表中。分布越平均，哈希冲突的概率就越低。
 
-实际上，哈希算法除了可以用于实现哈希表，还广泛应用于其他领域中，包括：
+实际上，哈希算法除了可以用于实现哈希表，还广泛应用于其他领域中。举两个例子：
 
 - **密码存储**：为了保护用户密码的安全，系统通常不会直接存储用户的明文密码，而是存储密码的哈希值。当用户输入密码时，系统会对输入的密码计算哈希值，然后与存储的哈希值进行比较。如果两者匹配，那么密码就被视为正确。
 - **数据完整性检查**：数据发送方可以计算数据的哈希值并将其一同发送；接收方可以重新计算接收到的数据的哈希值，并与接收到的哈希值进行比较。如果两者匹配，那么数据就被视为完整的。
@@ -32,11 +34,11 @@ index = hash(key) % capacity
 - **抗碰撞性**：应当极其困难找到两个不同的输入，使得它们的哈希值相同。
 - **雪崩效应**：输入的微小变化应当导致输出的显著且不可预测的变化。
 
-注意，**“均匀分布”与“抗碰撞性”是两个独立的概念**，满足均匀分布不一定满足抗碰撞性。例如，在随机输入 `key` 下，哈希函数 `key % 100` 可以产生均匀分布的输出。然而，该哈希算法过于简单，所有后两位相等的 `key` 的输出都相同，因此我们可以很容易地从哈希值反推出可用的 `key` ，从而破解密码。
+请注意，**“均匀分布”与“抗碰撞性”是两个独立的概念**，满足均匀分布不一定满足抗碰撞性。例如，在随机输入 `key` 下，哈希函数 `key % 100` 可以产生均匀分布的输出。然而该哈希算法过于简单，所有后两位相等的 `key` 的输出都相同，因此我们可以很容易地从哈希值反推出可用的 `key` ，从而破解密码。
 
 ## 哈希算法的设计
 
-哈希算法的设计是一个复杂且需要考虑许多因素的问题。然而，对于一些简单场景，我们也能设计一些简单的哈希算法，以字符串哈希为例：
+哈希算法的设计是一个复杂且需要考虑许多因素的问题。然而对于简单场景，我们也能设计一些简单的哈希算法。以字符串哈希为例：
 
 - **加法哈希**：对输入的每个字符的 ASCII 码进行相加，将得到的总和作为哈希值。
 - **乘法哈希**：利用了乘法的不相关性，每轮乘以一个常数，将各个字符的 ASCII 码累积到哈希值中。
@@ -175,7 +177,7 @@ index = hash(key) % capacity
     [class]{}-[func]{rot_hash}
     ```
 
-观察发现，每种哈希算法的最后一步都是对大质数 $1000000007$ 取模，以确保哈希值在合适的范围内。值得思考的是，为什么要强调对质数取模，对合数取模的弊端是什么？这是一个有趣的问题。
+观察发现，每种哈希算法的最后一步都是对大质数 $1000000007$ 取模，以确保哈希值在合适的范围内。值得思考的是，为什么要强调对质数取模，或者说对合数取模的弊端是什么？这是一个有趣的问题。
 
 先抛出结论：**当我们使用大质数作为模数时，可以最大化地保证哈希值的均匀分布**。因为质数不会与其他数字存在公约数，可以减少因取模操作而产生的周期性模式，从而避免哈希冲突。
 
@@ -199,17 +201,21 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-值得强调的是，如果能够保证 `key` 是随机均匀分布的，那么选择质数或者合数作为模数都是可以的，它们都能输出均匀分布的哈希值。而当 `key` 的分布存在某种周期性时，对合数取模更容易出现聚集现象。
+值得说明的是，如果能够保证 `key` 是随机均匀分布的，那么选择质数或者合数作为模数都是可以的，它们都能输出均匀分布的哈希值。而当 `key` 的分布存在某种周期性时，对合数取模更容易出现聚集现象。
 
-总而言之，我们通常选取质数作为模数，并且这个质数最好大一些，以提升哈希算法的稳健性。
+总而言之，我们通常选取质数作为模数，并且这个质数最好足够大，以尽可能消除周期性模式，提升哈希算法的稳健性。
 
 ## 常见哈希算法
 
 不难发现，以上介绍的简单哈希算法都比较“脆弱”，远远没有达到哈希算法的设计目标。例如，由于加法和异或满足交换律，因此加法哈希和异或哈希无法区分内容相同但顺序不同的字符串，这可能会加剧哈希冲突，并引起一些安全问题。
 
-在实际中，我们通常会用一些标准哈希算法，例如 MD5, SHA-1, SHA-2, SHA3 等。它们可以将任意长度的输入数据映射到恒定长度的哈希值。近一个世纪以来，哈希算法处在不断升级与优化的过程中。一部分研究人员努力提升哈希算法的性能，另一部分研究人员和黑客则致力于寻找哈希算法的安全性问题。
+在实际中，我们通常会用一些标准哈希算法，例如 MD5 , SHA-1 , SHA-2 , SHA3 等。它们可以将任意长度的输入数据映射到恒定长度的哈希值。
 
-直至目前，MD5 和 SHA-1 已多次被成功攻击，因此它们被各类安全应用弃用。SHA-2 系列中的 SHA-256 是最安全的哈希算法之一，仍未出现成功的攻击案例，因此常被用在各类安全应用与协议中。SHA-3 相较 SHA-2 的实现开销更低、计算效率更高，但目前使用覆盖度不如 SHA-2 系列。
+近一个世纪以来，哈希算法处在不断升级与优化的过程中。一部分研究人员努力提升哈希算法的性能，另一部分研究人员和黑客则致力于寻找哈希算法的安全性问题。直至目前：
+
+- MD5 和 SHA-1 已多次被成功攻击，因此它们被各类安全应用弃用。
+- SHA-2 系列中的 SHA-256 是最安全的哈希算法之一，仍未出现成功的攻击案例，因此常被用在各类安全应用与协议中。
+- SHA-3 相较 SHA-2 的实现开销更低、计算效率更高，但目前使用覆盖度不如 SHA-2 系列。
 
 |          | MD5                            | SHA-1            | SHA-2                        | SHA-3                |
 | -------- | ------------------------------ | ---------------- | ---------------------------- | -------------------- |
@@ -425,10 +431,8 @@ $$
     // 节点对象 Instance of 'ListNode' 的哈希值为 1033450432
     ```
 
-在大多数编程语言中，**只有不可变对象才可作为哈希表的 `key`** 。假如我们将列表（动态数组）作为 `key` ，当列表的内容发生变化时，它的哈希值也随之改变，我们就无法在哈希表中查询到原先的 `value` 了。
+在许多编程语言中，**只有不可变对象才可作为哈希表的 `key`** 。假如我们将列表（动态数组）作为 `key` ，当列表的内容发生变化时，它的哈希值也随之改变，我们就无法在哈希表中查询到原先的 `value` 了。
 
-虽然自定义对象（例如链表节点）的成员变量是可变的，但它是可哈希的，这是因为对象的哈希值默认基于内存地址生成。即使对象的内容发生了变化，但它的内存地址不变，哈希值仍然是不变的。
+虽然自定义对象（比如链表节点）的成员变量是可变的，但它是可哈希的。**这是因为对象的哈希值通常是基于内存地址生成的**，即使对象的内容发生了变化，但它的内存地址不变，哈希值仍然是不变的。
 
-!!! tip "向哈希函数加盐"
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-    Python 解释器在每次启动时，都会为字符串哈希函数加入一个随机的盐（Salt）值。因此在不同的 Python 运行实例中，同一字符串的哈希值通常是不同的。此做法可以有效防止 HashDoS 攻击，提升哈希算法的安全性。
+细心的你可能发现在不同控制台中运行程序时，输出的哈希值是不同的。**这是因为 Python 解释器在每次启动时，都会为字符串哈希函数加入一个随机的盐（Salt）值**。这种做法可以有效防止 HashDoS 攻击，提升哈希算法的安全性。