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docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md

@@ -671,7 +671,7 @@ $$
 
 常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。
 
-需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ ：
+需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，因此不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ ：
 
 === "Java"
 
@@ -847,7 +847,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{linear}
     ```
 
-以下函数的递归深度为 $n$ ，即同时存在 $n$ 个未返回的 `linear_recur()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间：
+如下图所示，此函数的递归深度为 $n$ ，即同时存在 $n$ 个未返回的 `linear_recur()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间：
 
 === "Java"
 
@@ -999,7 +999,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{quadratic}
     ```
 
-以下函数的递归深度为 $n$ ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $n / 2$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间。
+如下图所示，该函数的递归深度为 $n$ ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $n / 2$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间：
 
 === "Java"
 
@@ -1077,7 +1077,7 @@ $$
 
 ### 指数阶 $O(2^n)$
 
-指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的“满二叉树”的节点数量为 $2^n - 1$ ，占用 $O(2^n)$ 空间：
+指数阶常见于二叉树。观察下图，高度为 $n$ 的“满二叉树”的节点数量为 $2^n - 1$ ，占用 $O(2^n)$ 空间：
 
 === "Java"
 

docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -426,11 +426,11 @@ $$
     }
     ```
 
-算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作，算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
+下图展示了以上三个算法函数的时间复杂度。
 
-算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
-
-算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为“常数阶”。
+- 算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作，算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
+- 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
+- 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为“常数阶”。
 
 ![算法 A 、B 和 C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)
 
@@ -871,7 +871,7 @@ $$
 
 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
 
-以下表格展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 $n$ 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。
+下表展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 $n$ 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。
 
 <p align="center"> 表：不同操作数量对应的时间复杂度 </p>
 
@@ -885,7 +885,7 @@ $$
 
 ## 常见类型
 
-设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型包括（按照从低到高的顺序排列）：
+设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型如下图所示（按照从低到高的顺序排列）。
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -1286,7 +1286,9 @@ $$
 
 ### 指数阶 $O(2^n)$
 
-生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。相关代码如下：
+生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
+
+以下代码和图模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
 
 === "Java"
 
@@ -1360,11 +1362,9 @@ $$
     [class]{}-[func]{exponential}
     ```
 
-下图展示了细胞分裂的过程。
-
 ![指数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
 
-在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如以下代码，其递归地一分为二，经过 $n$ 次分裂后停止：
+在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 $n$ 次分裂后停止：
 
 === "Java"
 
@@ -1442,7 +1442,9 @@ $$
 
 ### 对数阶 $O(\log n)$
 
-与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。相关代码如下：
+与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。
+
+以下代码和图模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ，简记为 $O(\log n)$ 。
 
 === "Java"
 
@@ -1602,7 +1604,7 @@ $$
     O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
     $$
 
-    因此我们通常会省略底数 $m$ ，将对数阶直接记为 $O(\log n)$ 。
+    也就是说，底数 $m$ 可以在不影响复杂度的前提下转换。因此我们通常会省略底数 $m$ ，将对数阶直接记为 $O(\log n)$ 。
 
 ### 线性对数阶 $O(n \log n)$
 
@@ -1680,6 +1682,8 @@ $$
     [class]{}-[func]{linear_log_recur}
     ```
 
+下图展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 $n$ ，树共有 $\log_2 n + 1$ 层，因此时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+
 ![线性对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
 
 主流排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。
@@ -1692,7 +1696,7 @@ $$
 n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
 $$
 
-阶乘通常使用递归实现。例如在以下代码中，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，以此类推，直至第 $n$ 层时停止分裂：
+阶乘通常使用递归实现。如下图和以下代码所示，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，以此类推，直至第 $n$ 层时停止分裂：
 
 === "Java"