algorithm/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2025-07-12 18:10:42 +08:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

deploy

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2024-01-09 16:00:33 +08:00
parent 5b029ad632
commit 09d346e64d
90 changed files with 11430 additions and 648 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

202
en/chapter_computational_complexity/time_complexity/index.html
View File

@ -1267,6 +1267,160 @@
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_6" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M17.36 20.2v-5.38h1.79V22H3v-7.18h1.8v5.38h12.56M6.77 14.32l.37-1.76 8.79 1.85-.37 1.76-8.79-1.85m1.16-4.21.76-1.61 8.14 3.78-.76 1.62-8.14-3.79m2.26-3.99 1.15-1.38 6.9 5.76-1.15 1.37-6.9-5.75m4.45-4.25L20 9.08l-1.44 1.07-5.36-7.21 1.44-1.07M6.59 18.41v-1.8h8.98v1.8H6.59Z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
Chapter 5. Stack and Queue
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_6" id="__nav_6_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_6_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_6">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Chapter 5. Stack and Queue
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/stack/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
5.1 Stack
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/queue/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
5.2 Queue
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/deque/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
5.3 Double-ended Queue
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
5.4 Summary
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
@ -2472,8 +2626,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20constant%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20size%20%3D%2010%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28size%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20constant%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20constant%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20size%20%3D%2010%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28size%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20constant%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20constant%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20size%20%3D%2010%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28size%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20constant%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20constant%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20size%20%3D%2010%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28size%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20constant%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<h3 id="2-linear-order-on">2. &nbsp; Linear Order <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span><a class="headerlink" href="#2-linear-order-on" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>Linear order indicates the number of operations grows linearly with the input data size <span class="arithmatex">\(n\)</span>. Linear order commonly appears in single-loop structures:</p>
@ -2607,8 +2761,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 441px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p>Operations like array traversal and linked list traversal have a time complexity of <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span>, where <span class="arithmatex">\(n\)</span> is the length of the array or list:</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="7:12"><input checked="checked" id="__tabbed_7_1" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_2" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_3" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_4" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_5" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_6" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_7" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_8" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_9" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_10" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_11" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_12" name="__tabbed_7" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_7_1">Python</label><label for="__tabbed_7_2">C++</label><label for="__tabbed_7_3">Java</label><label for="__tabbed_7_4">C#</label><label for="__tabbed_7_5">Go</label><label for="__tabbed_7_6">Swift</label><label for="__tabbed_7_7">JS</label><label for="__tabbed_7_8">TS</label><label for="__tabbed_7_9">Dart</label><label for="__tabbed_7_10">Rust</label><label for="__tabbed_7_11">C</label><label for="__tabbed_7_12">Zig</label></div>
@ -2759,8 +2913,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20array_traversal%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E6%AD%A3%E6%AF%94%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20array_traversal%28%5B0%5D%20*%20n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20array_traversal%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E6%AD%A3%E6%AF%94%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20array_traversal%28%5B0%5D%20*%20n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20array_traversal%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E6%AD%A3%E6%AF%94%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20array_traversal%28%5B0%5D%20*%20n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20array_traversal%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E6%AD%A3%E6%AF%94%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20array_traversal%28%5B0%5D%20*%20n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p>It's important to note that <strong>the input data size <span class="arithmatex">\(n\)</span> should be determined based on the type of input data</strong>. For example, in the first example, <span class="arithmatex">\(n\)</span> represents the input data size, while in the second example, the length of the array <span class="arithmatex">\(n\)</span> is the data size.</p>
<h3 id="3-quadratic-order-on2">3. &nbsp; Quadratic Order <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span><a class="headerlink" href="#3-quadratic-order-on2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
@ -2938,8 +3092,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%85%B3%E7%B3%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20quadratic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%85%B3%E7%B3%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20quadratic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%85%B3%E7%B3%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20quadratic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%85%B3%E7%B3%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20quadratic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p>The following image compares constant order, linear order, and quadratic order time complexities.</p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="Constant, Linear, and Quadratic Order Time Complexities" class="animation-figure" src="../time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png" /></a></p>
@ -3200,8 +3354,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20bubble_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%20%20%23%20%E8%AE%A1%E6%95%B0%E5%99%A8%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A4%96%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%20%5B0,%20i%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%20-%201,%200,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%86%85%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B0%86%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20i%5D%20%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E8%AF%A5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%8F%B3%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28i%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bj%5D%20%3E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%20nums%5Bj%5D%20%E4%B8%8E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20nums%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%203%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%8C%85%E5%90%AB%203%20%E4%B8%AA%E5%8D%95%E5%85%83%E6%93%8D%E4%BD%9C%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%28n,%200,%20-1%29%5D%20%20%23%20%5Bn,%20n-1,%20...,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20bubble_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20bubble_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%20%20%23%20%E8%AE%A1%E6%95%B0%E5%99%A8%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A4%96%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%20%5B0,%20i%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%20-%201,%200,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%86%85%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B0%86%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20i%5D%20%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E8%AF%A5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%8F%B3%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28i%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bj%5D%20%3E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%20nums%5Bj%5D%20%E4%B8%8E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20nums%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%203%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%8C%85%E5%90%AB%203%20%E4%B8%AA%E5%8D%95%E5%85%83%E6%93%8D%E4%BD%9C%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%28n,%200,%20-1%29%5D%20%20%23%20%5Bn,%20n-1,%20...,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20bubble_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20bubble_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%20%20%23%20%E8%AE%A1%E6%95%B0%E5%99%A8%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A4%96%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%20%5B0,%20i%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%20-%201,%200,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%86%85%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B0%86%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20i%5D%20%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E8%AF%A5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%8F%B3%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28i%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bj%5D%20%3E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%20nums%5Bj%5D%20%E4%B8%8E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20nums%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%203%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%8C%85%E5%90%AB%203%20%E4%B8%AA%E5%8D%95%E5%85%83%E6%93%8D%E4%BD%9C%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%28n,%200,%20-1%29%5D%20%20%23%20%5Bn,%20n-1,%20...,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20bubble_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20bubble_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%20%20%23%20%E8%AE%A1%E6%95%B0%E5%99%A8%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A4%96%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%20%5B0,%20i%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%20-%201,%200,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%86%85%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B0%86%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20i%5D%20%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E8%AF%A5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%8F%B3%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28i%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bj%5D%20%3E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%20nums%5Bj%5D%20%E4%B8%8E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20nums%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%203%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%8C%85%E5%90%AB%203%20%E4%B8%AA%E5%8D%95%E5%85%83%E6%93%8D%E4%BD%9C%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%28n,%200,%20-1%29%5D%20%20%23%20%5Bn,%20n-1,%20...,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20bubble_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<h3 id="4-exponential-order-o2n">4. &nbsp; Exponential Order <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span><a class="headerlink" href="#4-exponential-order-o2n" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>Biological "cell division" is a classic example of exponential order growth: starting with one cell, it becomes two after one division, four after two divisions, and so on, resulting in <span class="arithmatex">\(2^n\)</span> cells after <span class="arithmatex">\(n\)</span> divisions.</p>
@ -3410,8 +3564,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exponential%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20base%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%BB%86%E8%83%9E%E6%AF%8F%E8%BD%AE%E4%B8%80%E5%88%86%E4%B8%BA%E4%BA%8C%EF%BC%8C%E5%BD%A2%E6%88%90%E6%95%B0%E5%88%97%201,%202,%204,%208,%20...,%202%5E%28n-1%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28base%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20*%3D%202%0A%20%20%20%20%23%20count%20%3D%201%20%2B%202%20%2B%204%20%2B%208%20%2B%20..%20%2B%202%5E%28n-1%29%20%3D%202%5En%20-%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exponential%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exponential%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20base%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%BB%86%E8%83%9E%E6%AF%8F%E8%BD%AE%E4%B8%80%E5%88%86%E4%B8%BA%E4%BA%8C%EF%BC%8C%E5%BD%A2%E6%88%90%E6%95%B0%E5%88%97%201,%202,%204,%208,%20...,%202%5E%28n-1%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28base%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20*%3D%202%0A%20%20%20%20%23%20count%20%3D%201%20%2B%202%20%2B%204%20%2B%208%20%2B%20..%20%2B%202%5E%28n-1%29%20%3D%202%5En%20-%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exponential%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 531px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exponential%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20base%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%BB%86%E8%83%9E%E6%AF%8F%E8%BD%AE%E4%B8%80%E5%88%86%E4%B8%BA%E4%BA%8C%EF%BC%8C%E5%BD%A2%E6%88%90%E6%95%B0%E5%88%97%201,%202,%204,%208,%20...,%202%5E%28n-1%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28base%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20*%3D%202%0A%20%20%20%20%23%20count%20%3D%201%20%2B%202%20%2B%204%20%2B%208%20%2B%20..%20%2B%202%5E%28n-1%29%20%3D%202%5En%20-%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exponential%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exponential%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20base%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%BB%86%E8%83%9E%E6%AF%8F%E8%BD%AE%E4%B8%80%E5%88%86%E4%B8%BA%E4%BA%8C%EF%BC%8C%E5%BD%A2%E6%88%90%E6%95%B0%E5%88%97%201,%202,%204,%208,%20...,%202%5E%28n-1%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28base%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20*%3D%202%0A%20%20%20%20%23%20count%20%3D%201%20%2B%202%20%2B%204%20%2B%208%20%2B%20..%20%2B%202%5E%28n-1%29%20%3D%202%5En%20-%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exponential%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="Exponential Order Time Complexity" class="animation-figure" src="../time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png" /></a></p>
<p align="center"> Figure 2-11 &nbsp; Exponential Order Time Complexity </p>
@ -3528,8 +3682,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exp_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20return%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%207%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exp_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exp_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20return%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%207%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exp_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 423px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exp_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20return%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%207%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exp_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exp_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20return%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%207%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exp_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p>Exponential order growth is extremely rapid and is commonly seen in exhaustive search methods (brute force, backtracking, etc.). For large-scale problems, exponential order is unacceptable, often requiring dynamic programming or greedy algorithms as solutions.</p>
<h3 id="5-logarithmic-order-olog-n">5. &nbsp; Logarithmic Order <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span><a class="headerlink" href="#5-logarithmic-order-olog-n" title="Permanent link">&para;</a></h3>
@ -3686,8 +3840,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20logarithmic%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20while%20n%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20n%20/%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20logarithmic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20logarithmic%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20while%20n%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20n%20/%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20logarithmic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20logarithmic%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20while%20n%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20n%20/%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20logarithmic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20logarithmic%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20while%20n%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20n%20/%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20logarithmic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="Logarithmic Order Time Complexity" class="animation-figure" src="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png" /></a></p>
<p align="center"> Figure 2-12 &nbsp; Logarithmic Order Time Complexity </p>
@ -3804,8 +3958,8 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20log_recur%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20return%20log_recur%28n%20/%202%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20log_recur%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20return%20log_recur%28n%20/%202%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 423px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20log_recur%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20return%20log_recur%28n%20/%202%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20log_recur%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20return%20log_recur%28n%20/%202%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p>Logarithmic order is typical in algorithms based on the divide-and-conquer strategy, embodying the "split into many" and "simplify complex problems" approach. It's slow-growing and is the most ideal time complexity after constant order.</p>
<div class="admonition tip">
@ -3977,8 +4131,8 @@ O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_log_recur%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%20%2B%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_log_recur%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%20%2B%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_log_recur%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%20%2B%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_log_recur%28n%3A%20float%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%20%2B%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p>The image below demonstrates how linear-logarithmic order is generated. Each level of a binary tree has <span class="arithmatex">\(n\)</span> operations, and the tree has <span class="arithmatex">\(\log_2 n + 1\)</span> levels, resulting in a time complexity of <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span>.</p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="Linear-Logarithmic Order Time Complexity" class="animation-figure" src="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png" /></a></p>
@ -4161,8 +4315,8 @@ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20factorial_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%201%20%E4%B8%AA%E5%88%86%E8%A3%82%E5%87%BA%20n%20%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%20factorial_recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20factorial_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20factorial_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%201%20%E4%B8%AA%E5%88%86%E8%A3%82%E5%87%BA%20n%20%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%20factorial_recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20factorial_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 495px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20factorial_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%201%20%E4%B8%AA%E5%88%86%E8%A3%82%E5%87%BA%20n%20%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%20factorial_recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20factorial_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20factorial_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%201%20%E4%B8%AA%E5%88%86%E8%A3%82%E5%87%BA%20n%20%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%20factorial_recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20factorial_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="Factorial Order Time Complexity" class="animation-figure" src="../time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png" /></a></p>
<p align="center"> Figure 2-14 &nbsp; Factorial Order Time Complexity </p>
@ -4504,8 +4658,8 @@ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>Visualizing Code</summary>
<p><div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20random%0A%0Adef%20random_numbers%28n%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%94%9F%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%8C%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%BA%3A%201,%202,%20...,%20n%20%EF%BC%8C%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%94%9F%E6%88%90%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%3A%201,%202,%203,%20...,%20n%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%89%93%E4%B9%B1%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20random.shuffle%28nums%29%0A%20%20%20%20return%20nums%0A%0Adef%20find_one%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E6%89%80%E5%9C%A8%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%A4%B4%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%281%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E5%B7%AE%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%28n%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bi%5D%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20return%20-1%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20random_numbers%28n%29%0A%20%20%20%20index%20%3D%20find_one%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%E6%95%B0%E7%BB%84%20%5B%201,%202,%20...,%20n%20%5D%20%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%E5%90%8E%20%3D%22,%20nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%22,%20index%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20random%0A%0Adef%20random_numbers%28n%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%94%9F%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%8C%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%BA%3A%201,%202,%20...,%20n%20%EF%BC%8C%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%94%9F%E6%88%90%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%3A%201,%202,%203,%20...,%20n%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%89%93%E4%B9%B1%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20random.shuffle%28nums%29%0A%20%20%20%20return%20nums%0A%0Adef%20find_one%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E6%89%80%E5%9C%A8%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%A4%B4%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%281%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E5%B7%AE%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%28n%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bi%5D%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20return%20-1%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20random_numbers%28n%29%0A%20%20%20%20index%20%3D%20find_one%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%E6%95%B0%E7%BB%84%20%5B%201,%202,%20...,%20n%20%5D%20%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%E5%90%8E%20%3D%22,%20nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%22,%20index%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 &gt;</a></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20random%0A%0Adef%20random_numbers%28n%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%94%9F%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%8C%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%BA%3A%201,%202,%20...,%20n%20%EF%BC%8C%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%94%9F%E6%88%90%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%3A%201,%202,%203,%20...,%20n%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%89%93%E4%B9%B1%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20random.shuffle%28nums%29%0A%20%20%20%20return%20nums%0A%0Adef%20find_one%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E6%89%80%E5%9C%A8%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%A4%B4%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%281%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E5%B7%AE%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%28n%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bi%5D%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20return%20-1%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20random_numbers%28n%29%0A%20%20%20%20index%20%3D%20find_one%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%E6%95%B0%E7%BB%84%20%5B%201,%202,%20...,%20n%20%5D%20%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%E5%90%8E%20%3D%22,%20nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%22,%20index%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20random%0A%0Adef%20random_numbers%28n%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%94%9F%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%8C%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%BA%3A%201,%202,%20...,%20n%20%EF%BC%8C%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%94%9F%E6%88%90%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%3A%201,%202,%203,%20...,%20n%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%89%93%E4%B9%B1%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20random.shuffle%28nums%29%0A%20%20%20%20return%20nums%0A%0Adef%20find_one%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E6%89%80%E5%9C%A8%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%A4%B4%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%281%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E5%B7%AE%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%28n%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bi%5D%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20return%20-1%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20random_numbers%28n%29%0A%20%20%20%20index%20%3D%20find_one%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%E6%95%B0%E7%BB%84%20%5B%201,%202,%20...,%20n%20%5D%20%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%E5%90%8E%20%3D%22,%20nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%22,%20index%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen &gt;</a></div></p>
</details>
<p>It's important to note that the best-case time complexity is rarely used in practice, as it is usually only achievable under very low probabilities and might be misleading. <strong>The worst-case time complexity is more practical as it provides a safety value for efficiency</strong>, allowing us to confidently use the algorithm.</p>
<p>From the above example, it's clear that both the worst-case and best-case time complexities only occur under "special data distributions," which may have a small probability of occurrence and may not accurately reflect the algorithm's run efficiency. In contrast, <strong>the average time complexity can reflect the algorithm's efficiency under random input data</strong>, denoted by the <span class="arithmatex">\(\Theta\)</span> notation.</p>