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docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -22,7 +22,7 @@
 
 状态 $[i, c]$ 对应的子问题为：**前 $i$ 个物品在剩余容量为 $c$ 的背包中的最大价值**，记为 $dp[i, c]$ 。
 
-至此，我们得到一个尺寸为 $n \times cap$ 的二维 $dp$ 矩阵。
+需要求解的是 $dp[n, cap]$ ，因此需要一个尺寸为 $(n+1) \times (cap+1)$ 的二维 $dp$ 表。
 
 **第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
 
@@ -45,6 +45,10 @@ $$
 
 当前状态 $[i, c]$ 从上方的状态 $[i-1, c]$ 和左上方的状态 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 $dp$ 表即可。
 
+!!! tip
+
+    完成以上三步后，我们可以直接实现从底至顶的动态规划解法。而为了展示本题包含的重叠子问题，本文也同时给出从顶至底的暴力搜索和记忆化搜索解法。
+
 ## 方法一：暴力搜索
 
 搜索代码包含以下要素：
@@ -201,7 +205,7 @@ $$
 
 ## 方法三：动态规划
 
-动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 `dp` 矩阵的过程，代码如下所示。
+动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 $dp$ 表的过程，代码如下所示。
 
 === "Java"
 
@@ -269,7 +273,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{knapsackDP}
     ```
 
-如下图所示，时间复杂度由 `dp` 矩阵大小决定，为 $O(n \times cap)$ 。
+如下图所示，时间复杂度由数组 `dp` 大小决定，为 $O(n \times cap)$ 。
 
 === "<1>"
     ![0-1 背包的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step1.png)
@@ -313,9 +317,9 @@ $$
 === "<14>"
     ![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png)
 
-**最后考虑状态压缩**。以上代码中的 `dp` 矩阵占用 $O(n \times cap)$ 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。
+**最后考虑状态压缩**。以上代码中的数组 `dp` 占用 $O(n \times cap)$ 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。
 
-那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态，为了避免左边区域的格子在状态转移中被覆盖，我们应采取倒序遍历。
+那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态，**为了避免左方区域的格子在状态转移中被覆盖，应该采取倒序遍历**。
 
 以下动画展示了在单个数组下从第 $i=1$ 行转换至第 $i=2$ 行的过程。建议你思考一下正序遍历和倒序遍历的区别。
 
@@ -337,7 +341,7 @@ $$
 === "<6>"
     ![knapsack_dp_comp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step6.png)
 
-如以下代码所示，我们仅需将 `dp` 矩阵的第一维 $i$ 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。
+如以下代码所示，我们仅需将数组 `dp` 的第一维 $i$ 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。
 
 === "Java"