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docs/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md

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 「回溯算法 Backtracking Algorithm」是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择都无法找到解为止。
 
-回溯算法通常采用「深度优先搜索」来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。下面，我们将从前序遍历入手，逐步了解回溯算法的工作原理。
+回溯算法通常采用「深度优先搜索」来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。接下来我们先用前序遍历构造一个回溯问题，逐步了解回溯算法的工作原理。
 
 !!! question "例题一"
 
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 相较于基于前序遍历的实现代码，基于回溯算法框架的实现代码虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**所有回溯问题都可以在该框架下解决**。我们需要根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法。
 
+## 优势与局限性
+
+回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。
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+然而，在处理大规模或者复杂问题时，**回溯算法的运行效率可能难以接受**。
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+- 在最坏的情况下，回溯算法需要遍历解空间的所有可能解，所需时间很长。例如，求解 $n$ 皇后问题的时间复杂度可以达到 $O(n!)$ 。
+- 在每一次递归调用时，都需要保存当前的状态（例如选择路径、用于剪枝的辅助变量等），对于深度很大的递归，空间需求可能会变得非常大。
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+即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**：
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+- 上文介绍过的剪枝是一种常用的优化方法。它可以避免搜索那些肯定不会产生有效解的路径，从而节省时间和空间。
+- 另一个常用的优化方法是加入「启发式搜索 Heuristic Search」策略，它在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。
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 ## 典型例题
 
 **搜索问题**：这类问题的目标是找到满足特定条件的解决方案。
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 - 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。
 
 请注意，回溯算法通常不是解决组合优化问题的最优方法。0-1 背包问题通常使用动态规划解决；旅行商是一个 NP-Hard 问题，常用解决方法有遗传算法和蚁群算法等；最大团问题是图轮中的一个经典 NP-Hard 问题，通常用贪心算法等启发式算法来解决。
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-## 优势与局限性
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-回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。
-
-然而，在处理大规模或者复杂问题时，**回溯算法的运行效率可能难以接受**。这是因为在最坏的情况下，回溯算法需要遍历解空间的所有可能解。例如，求解 $n$ 皇后问题的时间复杂度可以达到 $O(n!)$ 。回溯算法的空间复杂度也可能较高。因为在每一次递归调用时，都需要保存当前的状态（例如选择路径、用于剪枝的辅助变量等），对于深度很大的递归，空间需求可能会变得非常大。
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-即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于我们无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**：
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-- 上文介绍过的剪枝是一种常用的优化方法。它可以避免搜索那些肯定不会产生有效解的路径，从而节省时间和空间。
-- 另一个常用的优化方法是加入「启发式搜索 Heuristic Search」策略，它在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。

docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md

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 全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。
 
-如下表所示，列举了几个示例数组和其对应的所有排列。
+下表列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。
 
 <div class="center-table" markdown>
 
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 需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 `selected` ，它的长度与输入数组长度相等，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
 
-如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**从本质上理解，此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
+如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
 
 ![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
 
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 ![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
 
-那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而，这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以提升算法效率。
+那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
 
 观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。