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chapter_searching/binary_search/index.html

@@ -3451,10 +3451,10 @@
 <p align="center"> 图 10-1 &nbsp; 二分查找示例数据 </p>
 
 <p>如图 10-2 所示，我们先初始化指针 <span class="arithmatex">\(i = 0\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j = n - 1\)</span> ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 <span class="arithmatex">\([0, n - 1]\)</span> 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。</p>
-<p>接下来，循环执行以下两个步骤：</p>
+<p>接下来，循环执行以下两步。</p>
 <ol>
 <li>计算中点索引 <span class="arithmatex">\(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(\lfloor \space \rfloor\)</span> 表示向下取整操作。</li>
-<li>判断 <code>nums[m]</code> 和 <code>target</code> 的大小关系，分为三种情况：<ol>
+<li>判断 <code>nums[m]</code> 和 <code>target</code> 的大小关系，分为以下三种情况。<ol>
 <li>当 <code>nums[m] &lt; target</code> 时，说明 <code>target</code> 在区间 <span class="arithmatex">\([m + 1, j]\)</span> 中，因此执行 <span class="arithmatex">\(i = m + 1\)</span> 。</li>
 <li>当 <code>nums[m] &gt; target</code> 时，说明 <code>target</code> 在区间 <span class="arithmatex">\([i, m - 1]\)</span> 中，因此执行 <span class="arithmatex">\(j = m - 1\)</span> 。</li>
 <li>当 <code>nums[m] = target</code> 时，说明找到 <code>target</code> ，因此返回索引 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 。</li>
@@ -3752,7 +3752,7 @@
 </div>
 </div>
 <p>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 <span class="arithmatex">\(\log_2 n\)</span> 。</p>
-<p>空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span>  。指针 <code>i</code> , <code>j</code> 使用常数大小空间。</p>
+<p>空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span>  。指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 使用常数大小空间。</p>
 <h2 id="1011">10.1.1 &nbsp; 区间表示方法<a class="headerlink" href="#1011" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 <span class="arithmatex">\([0, n)\)</span> ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 在 <span class="arithmatex">\(i = j\)</span> 时为空。</p>
 <p>我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。</p>
@@ -4023,12 +4023,12 @@
 <p align="center"> 图 10-3 &nbsp; 两种区间定义 </p>
 
 <h2 id="1012">10.1.2 &nbsp; 优点与局限性<a class="headerlink" href="#1012" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：</p>
+<p>二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。</p>
 <ul>
 <li>二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 <span class="arithmatex">\(n = 2^{20}\)</span> 时，线性查找需要 <span class="arithmatex">\(2^{20} = 1048576\)</span> 轮循环，而二分查找仅需 <span class="arithmatex">\(\log_2 2^{20} = 20\)</span> 轮循环。</li>
 <li>二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。</li>
 </ul>
-<p>然而，二分查找并非适用于所有情况，原因如下：</p>
+<p>然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。</p>
 <ul>
 <li>二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ，也是非常昂贵的。</li>
 <li>二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。</li>

chapter_searching/binary_search_edge/index.html

@@ -3496,11 +3496,11 @@
 <p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> ，数组可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 <code>target</code> 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 。</p>
 </div>
 <p>回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 指向最左一个 <code>target</code> ，<strong>因此查找插入点本质上是在查找最左一个 <code>target</code> 的索引</strong>。</p>
-<p>考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 <code>target</code> ，此时有两种可能：</p>
-<ol>
-<li>插入点的索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 越界；</li>
-<li>元素 <code>nums[i]</code> 与 <code>target</code> 不相等；</li>
-</ol>
+<p>考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 <code>target</code> ，这种情况可能导致以下两种结果。</p>
+<ul>
+<li>插入点的索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 越界。</li>
+<li>元素 <code>nums[i]</code> 与 <code>target</code> 不相等。</li>
+</ul>
 <p>当遇到以上两种情况时，直接返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 即可。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JS</label><label for="__tabbed_1_6">TS</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label><label for="__tabbed_1_12">Rust</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3767,8 +3767,8 @@
 </div>
 </div>
 <h3 id="2">2. &nbsp; 转化为查找元素<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>我们知道，当数组不包含 <code>target</code> 时，最后 <span class="arithmatex">\(i\)</span> , <span class="arithmatex">\(j\)</span> 会分别指向首个大于、小于 <code>target</code> 的元素。</p>
-<p>根据上述结论，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界，如图 10-8 所示。</p>
+<p>我们知道，当数组不包含 <code>target</code> 时，最终 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 会分别指向首个大于、小于 <code>target</code> 的元素。</p>
+<p>因此，如图 10-8 所示，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。</p>
 <ul>
 <li>查找最左一个 <code>target</code> ：可以转化为查找 <code>target - 0.5</code> ，并返回指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 。</li>
 <li>查找最右一个 <code>target</code> ：可以转化为查找 <code>target + 0.5</code> ，并返回指针 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 。</li>
@@ -3776,7 +3776,7 @@
 <p><img alt="将查找边界转化为查找元素" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png" /></p>
 <p align="center"> 图 10-8 &nbsp; 将查找边界转化为查找元素 </p>
 
-<p>代码在此省略，值得注意的有：</p>
+<p>代码在此省略，值得注意以下两点。</p>
 <ul>
 <li>给定数组不包含小数，这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。</li>
 <li>因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量 <code>target</code> 改为浮点数类型。</li>

chapter_searching/binary_search_insertion/index.html

@@ -3639,7 +3639,7 @@
 <p align="center"> 图 10-5 &nbsp; 线性查找重复元素的插入点 </p>
 
 <p>此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。当数组中存在很多重复的 <code>target</code> 时，该方法效率很低。</p>
-<p>现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，再判断 <code>target</code> 和 <code>nums[m]</code> 大小关系：</p>
+<p>现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，再判断 <code>target</code> 和 <code>nums[m]</code> 大小关系。</p>
 <ol>
 <li>当 <code>nums[m] &lt; target</code> 或 <code>nums[m] &gt; target</code> 时，说明还没有找到 <code>target</code> ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，<strong>从而使指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向 <code>target</code> 靠近</strong>。</li>
 <li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明小于 <code>target</code> 的元素在区间 <span class="arithmatex">\([i, m - 1]\)</span> 中，因此采用 <span class="arithmatex">\(j = m - 1\)</span> 来缩小区间，<strong>从而使指针 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向小于 <code>target</code> 的元素靠近</strong>。</li>
@@ -3840,8 +3840,8 @@
 <p class="admonition-title">Tip</p>
 <p>本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。</p>
 </div>
-<p>总的来看，二分查找无非就是给指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> , <span class="arithmatex">\(j\)</span> 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 <code>target</code> ），也可能是一个元素范围（例如小于 <code>target</code> 的元素）。</p>
-<p>在不断的循环二分中，指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> , <span class="arithmatex">\(j\)</span> 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。</p>
+<p>总的来看，二分查找无非就是给指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 <code>target</code> ），也可能是一个元素范围（例如小于 <code>target</code> 的元素）。</p>
+<p>在不断的循环二分中，指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。</p>
 
 
 

chapter_searching/searching_algorithm_revisited/index.html

@@ -3457,7 +3457,7 @@
 
 <h1 id="105">10.5 &nbsp; 重识搜索算法<a class="headerlink" href="#105" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>「搜索算法 searching algorithm」用于在数据结构（例如数组、链表、树或图）中搜索一个或一组满足特定条件的元素。</p>
-<p>根据实现思路，搜索算法总体可分为两种：</p>
+<p>搜索算法可根据实现思路分为以下两类。</p>
 <ul>
 <li><strong>通过遍历数据结构来定位目标元素</strong>，例如数组、链表、树和图的遍历等。</li>
 <li><strong>利用数据组织结构或数据包含的先验信息，实现高效元素查找</strong>，例如二分查找、哈希查找和二叉搜索树查找等。</li>