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 <h1 id="121">12.1 &nbsp; 分治算法<a class="headerlink" href="#121" title="Permanent link">&para;</a></h1>
-<p>「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：</p>
+<p>「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两个步骤。</p>
 <ol>
 <li><strong>分（划分阶段）</strong>：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。</li>
 <li><strong>治（合并阶段）</strong>：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。</li>
 </ol>
-<p>如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：</p>
+<p>如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一。</p>
 <ol>
 <li><strong>分</strong>：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。</li>
 <li><strong>治</strong>：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。</li>
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 <p align="center"> 图 12-1 &nbsp; 归并排序的分治策略 </p>
 
 <h2 id="1211">12.1.1 &nbsp; 如何判断分治问题<a class="headerlink" href="#1211" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据：</p>
+<p>一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据。</p>
 <ol>
 <li><strong>问题可以被分解</strong>：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。</li>
 <li><strong>子问题是独立的</strong>：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。</li>
 <li><strong>子问题的解可以被合并</strong>：原问题的解通过合并子问题的解得来。</li>
 </ol>
-<p>显然归并排序，满足以上三条判断依据：</p>
+<p>显然，归并排序是满足以上三条判断依据的。</p>
 <ol>
-<li>递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。</li>
-<li>每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。</li>
-<li>两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。</li>
+<li><strong>问题可以被分解</strong>：递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。</li>
+<li><strong>子问题是独立的</strong>：每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。</li>
+<li><strong>子问题的解可以被合并</strong>：两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。</li>
 </ol>
 <h2 id="1212">12.1.2 &nbsp; 通过分治提升效率<a class="headerlink" href="#1212" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>分治不仅可以有效地解决算法问题，<strong>往往还可以带来算法效率的提升</strong>。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。</p>
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 <p align="center"> 图 12-3 &nbsp; 桶排序的并行计算 </p>
 
 <h2 id="1213">12.1.3 &nbsp; 分治常见应用<a class="headerlink" href="#1213" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题：</p>
+<p>一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题。</p>
 <ul>
 <li><strong>寻找最近点对</strong>：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后再找出跨越两部分的最近点对。</li>
 <li><strong>大整数乘法</strong>：例如 Karatsuba 算法，它是将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。</li>
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 <li><strong>汉诺塔问题</strong>：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。</li>
 <li><strong>求解逆序对</strong>：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。</li>
 </ul>
-<p>另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛，举几个已经学过的例子：</p>
+<p>另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛。</p>
 <ul>
 <li><strong>二分查找</strong>：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。</li>
 <li><strong>归并排序</strong>：文章开头已介绍，不再赘述。</li>