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krahets
@ -3436,17 +3436,17 @@
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<h1 id="122">12.2 分治搜索策略<a class="headerlink" href="#122" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>我们已经学过，搜索算法分为两大类：</p>
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<p>我们已经学过，搜索算法分为两大类。</p>
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<ul>
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<li><strong>暴力搜索</strong>：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</li>
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<li><strong>自适应搜索</strong>：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 甚至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 的时间复杂度。</li>
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</ul>
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<p>实际上，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的</strong>，例如：</p>
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<p>实际上，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的</strong>，例如二分查找和树。</p>
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<ul>
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<li>二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。</li>
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<li>树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。</li>
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</ul>
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<p>以二分查找为例：</p>
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<p>二分查找的分治策略如下所示。</p>
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<ul>
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<li><strong>问题可以被分解</strong>：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。</li>
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<li><strong>子问题是独立的</strong>：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。</li>
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@ -3460,11 +3460,11 @@
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<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> ，数组中所有元素都是唯一的，请查找元素 <code>target</code> 。</p>
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</div>
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<p>从分治角度，我们将搜索区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 对应的子问题记为 <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> 。</p>
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<p>从原问题 <span class="arithmatex">\(f(0, n-1)\)</span> 为起始点，二分查找的分治步骤为：</p>
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<p>从原问题 <span class="arithmatex">\(f(0, n-1)\)</span> 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。</p>
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<ol>
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<li>计算搜索区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 的中点 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，根据它排除一半搜索区间。</li>
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<li>递归求解规模减小一半的子问题，可能为 <span class="arithmatex">\(f(i, m-1)\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(f(m+1, j)\)</span> 。</li>
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<li>循环第 <code>1.</code> , <code>2.</code> 步，直至找到 <code>target</code> 或区间为空时返回。</li>
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<li>循环第 <code>1.</code> 和 <code>2.</code> 步，直至找到 <code>target</code> 或区间为空时返回。</li>
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</ol>
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<p>图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的分治过程。</p>
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<p><img alt="二分查找的分治过程" src="../binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png" /></p>
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@ -3486,20 +3486,20 @@
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<p align="center"> 图 12-5 构建二叉树的示例数据 </p>
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<h3 id="1">1. 判断是否为分治问题<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>原问题定义为从 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题：</p>
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<p>原问题定义为从 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 构建二叉树，其是一个典型的分治问题。</p>
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<ul>
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<li><strong>问题可以被分解</strong>：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。</li>
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<li><strong>子问题是独立的</strong>：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。</li>
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<li><strong>子问题的解可以合并</strong>：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。</li>
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</ul>
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<h3 id="2">2. 如何划分子树<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但问题是：<strong>如何通过前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> 来划分左子树和右子树呢</strong>？</p>
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<p>根据定义，<code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 都可以被划分为三个部分：</p>
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<p>根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，<strong>但如何通过前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> 来划分左子树和右子树呢</strong>？</p>
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<p>根据定义，<code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 都可以被划分为三个部分。</p>
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<ul>
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<li>前序遍历：<code>[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]</code> ，例如图 12-5 的树对应 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
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<li>中序遍历：<code>[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]</code> ，例如图 12-5 的树对应 <code>[ 9 | 3 | 1 2 7 ]</code> 。</li>
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</ul>
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<p>以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果：</p>
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<p>以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果。</p>
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<ol>
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<li>前序遍历的首元素 3 是根节点的值。</li>
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<li>查找根节点 3 在 <code>inorder</code> 中的索引，利用该索引可将 <code>inorder</code> 划分为 <code>[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]</code> 。</li>
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@ -3509,7 +3509,7 @@
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<p align="center"> 图 12-6 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
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<h3 id="3">3. 基于变量描述子树区间<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>根据以上划分方法，<strong>我们已经得到根节点、左子树、右子树在 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 中的索引区间</strong>。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：</p>
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<p>根据以上划分方法，<strong>我们已经得到根节点、左子树、右子树在 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 中的索引区间</strong>。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。</p>
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<ul>
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<li>将当前树的根节点在 <code>preorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 。</li>
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<li>将当前树的根节点在 <code>inorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 。</li>
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@ -3504,12 +3504,12 @@
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<h1 id="121">12.1 分治算法<a class="headerlink" href="#121" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：</p>
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<p>「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两个步骤。</p>
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<ol>
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<li><strong>分（划分阶段）</strong>：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。</li>
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<li><strong>治（合并阶段）</strong>：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。</li>
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</ol>
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<p>如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：</p>
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<p>如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一。</p>
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<ol>
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<li><strong>分</strong>：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。</li>
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<li><strong>治</strong>：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。</li>
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@ -3518,17 +3518,17 @@
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<p align="center"> 图 12-1 归并排序的分治策略 </p>
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<h2 id="1211">12.1.1 如何判断分治问题<a class="headerlink" href="#1211" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据：</p>
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<p>一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据。</p>
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<ol>
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<li><strong>问题可以被分解</strong>：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。</li>
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<li><strong>子问题是独立的</strong>：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。</li>
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<li><strong>子问题的解可以被合并</strong>：原问题的解通过合并子问题的解得来。</li>
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</ol>
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<p>显然归并排序，满足以上三条判断依据：</p>
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<p>显然，归并排序是满足以上三条判断依据的。</p>
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<li>递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。</li>
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<li>每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。</li>
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<li>两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。</li>
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<li><strong>问题可以被分解</strong>：递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。</li>
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<li><strong>子问题是独立的</strong>：每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。</li>
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<li><strong>子问题的解可以被合并</strong>：两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。</li>
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</ol>
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<h2 id="1212">12.1.2 通过分治提升效率<a class="headerlink" href="#1212" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>分治不仅可以有效地解决算法问题，<strong>往往还可以带来算法效率的提升</strong>。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。</p>
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@ -3560,7 +3560,7 @@ n(n - 4) & > 0
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<p align="center"> 图 12-3 桶排序的并行计算 </p>
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<h2 id="1213">12.1.3 分治常见应用<a class="headerlink" href="#1213" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题：</p>
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<p>一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题。</p>
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<ul>
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<li><strong>寻找最近点对</strong>：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后再找出跨越两部分的最近点对。</li>
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<li><strong>大整数乘法</strong>：例如 Karatsuba 算法，它是将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。</li>
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@ -3568,7 +3568,7 @@ n(n - 4) & > 0
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<li><strong>汉诺塔问题</strong>：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。</li>
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<li><strong>求解逆序对</strong>：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。</li>
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</ul>
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<p>另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛，举几个已经学过的例子：</p>
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<p>另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛。</p>
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<ul>
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<li><strong>二分查找</strong>：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。</li>
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<li><strong>归并排序</strong>：文章开头已介绍，不再赘述。</li>
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@ -3467,7 +3467,7 @@
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<p>在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。</p>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">Question</p>
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<p>给定三根柱子，记为 <code>A</code> , <code>B</code> , <code>C</code> 。起始状态下，柱子 <code>A</code> 上套着 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个圆盘移到柱子 <code>C</code> 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：</p>
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<p>给定三根柱子，记为 <code>A</code>、<code>B</code> 和 <code>C</code> 。起始状态下，柱子 <code>A</code> 上套着 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个圆盘移到柱子 <code>C</code> 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。</p>
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<ol>
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<li>圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。</li>
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<li>每次只能移动一个圆盘。</li>
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@ -3544,7 +3544,7 @@
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<p align="center"> 图 12-12 规模为 3 问题的解 </p>
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<p>本质上看，<strong>我们将问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 和子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span></strong> 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。</p>
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<p>至此，我们可总结出图 12-13 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> 和一个子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。子问题的解决顺序为：</p>
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<p>至此，我们可总结出图 12-13 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> 和一个子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> ，并按照以下顺序解决这三个子问题。</p>
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<ol>
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<li>将 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> 个圆盘借助 <code>C</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> 。</li>
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<li>将剩余 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 直接移至 <code>C</code> 。</li>
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