deploy

chapter_backtracking/subset_sum_problem/index.html

@@ -3541,7 +3541,7 @@
 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>给定一个正整数数组 <code>nums</code> 和一个目标正整数 <code>target</code> ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 <code>target</code> 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。</p>
 </div>
-<p>例如，输入集合 <span class="arithmatex">\(\{3, 4, 5\}\)</span> 和目标整数 <span class="arithmatex">\(9\)</span> ，解为 <span class="arithmatex">\(\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}\)</span> 。需要注意两点：</p>
+<p>例如，输入集合 <span class="arithmatex">\(\{3, 4, 5\}\)</span> 和目标整数 <span class="arithmatex">\(9\)</span> ，解为 <span class="arithmatex">\(\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}\)</span> 。需要注意以下两点。</p>
 <ul>
 <li>输入集合中的元素可以被无限次重复选取。</li>
 <li>子集是不区分元素顺序的，比如 <span class="arithmatex">\(\{4, 5\}\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\{5, 4\}\)</span> 是同一个子集。</li>
@@ -3945,30 +3945,30 @@
 <p><img alt="子集搜索与越界剪枝" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png" /></p>
 <p align="center"> 图 13-10 &nbsp; 子集搜索与越界剪枝 </p>
 
-<p>为了去除重复子集，<strong>一种直接的思路是对结果列表进行去重</strong>。但这个方法效率很低，因为：</p>
+<p>为了去除重复子集，<strong>一种直接的思路是对结果列表进行去重</strong>。但这个方法效率很低，有两方面原因。</p>
 <ul>
 <li>当数组元素较多，尤其是当 <code>target</code> 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。</li>
 <li>比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。</li>
 </ul>
 <h3 id="2">2. &nbsp; 重复子集剪枝<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p><strong>我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重</strong>。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：</p>
+<p><strong>我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重</strong>。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。</p>
 <ol>
-<li>第一轮和第二轮分别选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> , <span class="arithmatex">\(4\)</span> ，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 <span class="arithmatex">\([3, 4, \dots]\)</span> 。</li>
-<li>若第一轮选择 <span class="arithmatex">\(4\)</span> ，<strong>则第二轮应该跳过 <span class="arithmatex">\(3\)</span></strong> ，因为该选择产生的子集 <span class="arithmatex">\([4, 3, \dots]\)</span> 和 <code>1.</code> 中生成的子集完全重复。</li>
+<li>当第一轮和第二轮分别选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(4\)</span> 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 <span class="arithmatex">\([3, 4, \dots]\)</span> 。</li>
+<li>之后，当第一轮选择 <span class="arithmatex">\(4\)</span> 时，<strong>则第二轮应该跳过 <span class="arithmatex">\(3\)</span></strong> ，因为该选择产生的子集 <span class="arithmatex">\([4, 3, \dots]\)</span> 和 <code>1.</code> 中生成的子集完全重复。</li>
 </ol>
-<p>如图 13-11 所示，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右剪枝越多。</p>
+<p>在搜索中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。</p>
 <ol>
-<li>前两轮选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> , <span class="arithmatex">\(5\)</span> ，生成子集 <span class="arithmatex">\([3, 5, \dots]\)</span> 。</li>
-<li>前两轮选择 <span class="arithmatex">\(4\)</span> , <span class="arithmatex">\(5\)</span> ，生成子集 <span class="arithmatex">\([4, 5, \dots]\)</span> 。</li>
-<li>若第一轮选择 <span class="arithmatex">\(5\)</span> ，<strong>则第二轮应该跳过 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(4\)</span></strong> ，因为子集 <span class="arithmatex">\([5, 3, \dots]\)</span> 和子集 <span class="arithmatex">\([5, 4, \dots]\)</span> 和 <code>1.</code> , <code>2.</code> 中描述的子集完全重复。</li>
+<li>前两轮选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(5\)</span> ，生成子集 <span class="arithmatex">\([3, 5, \dots]\)</span> 。</li>
+<li>前两轮选择 <span class="arithmatex">\(4\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(5\)</span> ，生成子集 <span class="arithmatex">\([4, 5, \dots]\)</span> 。</li>
+<li>若第一轮选择 <span class="arithmatex">\(5\)</span> ，<strong>则第二轮应该跳过 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(4\)</span></strong> ，因为子集 <span class="arithmatex">\([5, 3, \dots]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\([5, 4, \dots]\)</span> 与第 <code>1.</code> 和 <code>2.</code> 步中描述的子集完全重复。</li>
 </ol>
 <p><img alt="不同选择顺序导致的重复子集" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png" /></p>
 <p align="center"> 图 13-11 &nbsp; 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
 
-<p>总结来看，给定输入数组 <span class="arithmatex">\([x_1, x_2, \dots, x_n]\)</span> ，设搜索过程中的选择序列为 <span class="arithmatex">\([x_{i_1}, x_{i_2}, \dots , x_{i_m}]\)</span> ，则该选择序列需要满足 <span class="arithmatex">\(i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m\)</span> ，<strong>不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝</strong>。</p>
+<p>总结来看，给定输入数组 <span class="arithmatex">\([x_1, x_2, \dots, x_n]\)</span> ，设搜索过程中的选择序列为 <span class="arithmatex">\([x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]\)</span> ，则该选择序列需要满足 <span class="arithmatex">\(i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m\)</span> ，<strong>不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝</strong>。</p>
 <h3 id="3">3. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为实现该剪枝，我们初始化变量 <code>start</code> ，用于指示遍历起点。<strong>当做出选择 <span class="arithmatex">\(x_{i}\)</span> 后，设定下一轮从索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 开始遍历</strong>。这样做就可以让选择序列满足 <span class="arithmatex">\(i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m\)</span> ，从而保证子集唯一。</p>
-<p>除此之外，我们还对代码进行了两项优化：</p>
+<p>除此之外，我们还对代码进行了以下两项优化。</p>
 <ul>
 <li>在开启搜索前，先将数组 <code>nums</code> 排序。在遍历所有选择时，<strong>当子集和超过 <code>target</code> 时直接结束循环</strong>，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 <code>target</code> 。</li>
 <li>省去元素和变量 <code>total</code>，<strong>通过在 <code>target</code> 上执行减法来统计元素和</strong>，当 <code>target</code> 等于 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 时记录解。</li>