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synced 2025-07-25 19:22:27 +08:00
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krahets
@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，**但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算**，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-3 分数背包问题的示例数据 </p>
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@ -19,7 +19,7 @@ comments: true
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1. 对于物品 $i$ ，它在单位重量下的价值为 $val[i-1] / wgt[i-1]$ ，简称为单位价值。
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2. 假设放入一部分物品 $i$ ，重量为 $w$ ，则背包增加的价值为 $w \times val[i-1] / wgt[i-1]$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-4 物品在单位重量下的价值 </p>
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@ -31,7 +31,7 @@ comments: true
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2. 遍历所有物品，**每轮贪心地选择单位价值最高的物品**。
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3. 若剩余背包容量不足，则使用当前物品的一部分填满背包即可。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-5 分数背包的贪心策略 </p>
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@ -483,6 +483,6 @@ comments: true
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如图 15-6 所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度理解贪心策略的有效性。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-6 分数背包问题的几何表示 </p>
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@ -19,7 +19,7 @@ comments: true
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本题的贪心策略如图 15-1 所示。给定目标金额，**我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币**，不断循环该步骤，直至凑出目标金额为止。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-1 零钱兑换的贪心策略 </p>
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@ -299,7 +299,7 @@ comments: true
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- **反例 $coins = [1, 20, 50]$**：假设 $amt = 60$ ，贪心算法只能找到 $50 + 1 \times 10$ 的兑换组合，共计 $11$ 枚硬币，但动态规划可以找到最优解 $20 + 20 + 20$ ，仅需 $3$ 枚硬币。
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- **反例 $coins = [1, 49, 50]$**：假设 $amt = 98$ ，贪心算法只能找到 $50 + 1 \times 48$ 的兑换组合，共计 $49$ 枚硬币，但动态规划可以找到最优解 $49 + 49$ ，仅需 $2$ 枚硬币。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-2 贪心无法找出最优解的示例 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/head-heart-outline
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
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请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-7 最大容量问题的示例数据 </p>
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@ -30,7 +30,7 @@ $$
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这道题还有更高效率的解法。如图 15-8 所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、$j$ 为长板。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-8 初始状态 </p>
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@ -38,13 +38,13 @@ $$
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这是因为在移动长板 $j$ 后，宽度 $j-i$ 肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（ $i$ 仍为短板）或变小（移动后的 $j$ 成为短板）。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-9 向内移动长板后的状态 </p>
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反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 可能会变长）。例如在图 15-10 中，移动短板后面积变大。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-10 向内移动短板后的状态 </p>
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@ -58,31 +58,31 @@ $$
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4. 循环执行第 `2.` 和 `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-11 最大容量问题的贪心过程 </p>
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@ -384,7 +384,7 @@ $$
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cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
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$$
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-12 移动短板导致被跳过的状态 </p>
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@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-13 最大切分乘积的问题定义 </p>
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@ -42,7 +42,7 @@ $$
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**贪心策略一**：如果切分方案中包含 $\geq 4$ 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$、$2$、$3$ 这三种因子。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-14 切分导致乘积变大 </p>
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@ -52,7 +52,7 @@ $$
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**贪心策略二**：在切分方案中，最多只应存在两个 $2$ 。因为三个 $2$ 总是可以被替换为两个 $3$ ，从而获得更大乘积。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-15 最优切分因子 </p>
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@ -349,7 +349,7 @@ $$
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-16 最大切分乘积的计算方法 </p>
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